Вычислении площадей треугольников и

Четырехугольников

Для треугольников

аЬ& т а

^и = —2— ^{или 2Р =} ^^Х1 ~ ^Х2^^У2 ~ ^у^ ~ (^%2 ~ ^х^^Ух ~ ^У2)-

Для четырехугольников 2Р = аЬ§т а + а& т у, или 2Р = (дг₁ - х₃)(у₂ ~ Уд ^_ (У\ ~ Уз)(^х2 — ^хд>

где Р— площадь участка; х и у — координаты вершин участка.

Пользуясь этими формулами, можно вычислить площадь лю­бого пятиугольника или шестиугольника.

При проектировании участков, имеющих форму трапеции (рис. 2), в землеустройстве широко используется следующая ана­литическая модель:

2 2

а, - а~ 2Р- -Д - 2_

с1§ а + с1§ (3

При вычислении средней длины поля (рабочего участка), име­ющего форму трапеции, применяются следующие формулы:

_т Р _ ЪН + с + с! _Т 5Р

ь = —; -о =-----------; ь-

В' 5 ЗН + с + с1

где 1 — средняя условная длина поля; 5 — средняя условная ширина поля; с и с? — длины скошенных сторон трапеции; Н— высота трапеции.

Например, если с = 400 м, < / = 600 м, Н= 300 м, Р = 100 га (1000 000 м²), то

, 5-1000000., „ ^Х=3-300 ₊ 400 ₊ 600 ^{= 2632М}-

Аналитические модели в землеустройстве, как и любые функ­ции, обладают определенными свойствами, учет которых позво­ляет принимать различные экономические решения. Важнейшие

Рис. 2. Обозначения, используемые при вычислении площадей трапеций

из них, которые обычно выделяют математики-экономисты (Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математи­ческие методы в экономике/Под ред. А. В. Сидорова. — М.: Дело и сервис. Изд. 2-е, 1999. - С. 24-26):

четность и нечетность;

наличие нулей функции;

периодичность;

монотонность;

наличие асимптот;

наличие ограничений и обратной функции;

степень сложности и явность-неявность функции;

наличие экстремума.

Функция у —Дх) называется четной, если для любого значе­ния аргумента из области ее определения выполняется равенство Л~х) =Л^Х)- Сумма, разность, произведение и частное четных функций также являются четными.

Нечетной называется функция, в которой для любого значе­ния аргумента из области ее определения выполняется равенство Л—х) = —Л^х)- Сумма и разность нечетных функций являются так­же нечетными, а их произведение или частное — четными функ­циями.

График четной функции симметричен относительно верти­кальной оси, а нечетной — относительно центра координат.

Например, функции, у = М, у = х²" (где л —любое натуральное

х

число) являются четными; у = х^{2п +}', У = —=> -------- — нечетными.

х + 4

Ряд функций нельзя отнести ни к четным, ни к нечетным. Эти функции не являются симметричными относительно центра или осей координат, поэтому их называют аморфными. Примера­ми могут служить функции у = 0^х, у = 1§ х, у = у[х.

Нулями функции называются те значения аргумента, при ко­торых она обращается в нуль, у =Л^Х) ~ О-

Периодическими называются функции, которые предполагают существование такого числа Т, которое для каждого значения ар­гумента из области определения функции обеспечивает выполне­ние равенства Л^х) ~Л^{Х +}?)> ^гД^е Т— период функции. Периоди­ческими являются функции у = $\п(х), у=со$(х), у = 1§(х), у = сщ{х).

Монотонными являются функции, возрастающие или убываю­щие на некотором участке их определения. Функция у =Л^Х) на­зывается возрастающей на промежутке, если для любых значе­ний х из этого промежутка большему значению аргумента соот­ветствует большее значение функции, то есть если х, < х₂, то Л^х\) < Л^хг)- Напротив, она будет убывающей, если для любых значений х из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ряд функций характеризуется наличием асимптот — прямых линий, к которым сколь угодно близко приближается данная функция при стремлении аргумента к бесконечности или неко­торому числу. Асимптоты бывают горизонтальными, вертикаль­ными и'наклонными.

Функция называется ограниченной сверху, если существует та­кое число М, что для всех х из области ее определения выполня­ется неравенство Дх) < М, ограниченной снизу — если существует число т такое, что для всех х справедливо /(х) > т.

В том случае, если из функции у =Дх) можно выразить х как некоторую функцию у (то есть представить х как функцию, а у — как аргумент), то соответствующая функция х = ц> (у) называется обратной по отношению к у =/{х).

Сложной называется функция, представленная в виде У ^Яч{^х)), или у =Ди), где и =д{х). При этом аргумент х называ­ют независимой переменной, ав-промежуточным аргументом.

Неявной называется функция, заданная в виде уравнения р{х, у) = 0, не разрешенного относительно у.

Изучая свойства функций, мы фактически исследуем свойства соответствующей аналитической модели.

Одним из основных свойств аналитических моделей, приме­няемых в землеустройстве, является наличие экстремума, то есть минимального или максимального значения функции в границах изменения ее аргумента. Экстремальное значение аналитической модели, как правило, является оптимальным, то есть лучшим для поставленной задачи. Именно такие значения используют в про­ектах землеустройства.

4.2. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА НАЛИЧИЕ ЭКСТРЕМУМА

Дифференциальное исчисление достаточно широко применя­ется в землеустройстве для экономического анализа различных процессов, связанных с использованием земли, а также для по­иска оптимальных землеустроительных решений на основе раз­личных функциональных зависимостей.

Применение дифференциального исчисления к решению за­дач, в которых отыскивается максимум или минимум функции, известно еще с середины XVIII в. Методы использования диффе­ренциального исчисления при решении задач на оптимум отно­сятся к классическим.

Как правило, задача ставится следующим образом: найти наи­лучшее значение того или иного показателя (максимум прибыли, минимум издержек и т. д.), представляющего собой функцию од­ного или нескольких аргументов. Так, если имеется функцио­нальная зависимость между прибылью у и размером землевладе-

пия или землепользования сельскохозяйственного предприятия \, то обязательно будет иметь место некий оптимальный размер ■ п'ого хозяйства по земельной площади, обеспечивающий наи-нучшие условия производства и позволяющий за счет этого полу­чить данному предприятию максимальную прибыль. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимо найти значение аргумента, при котором производная/'(х) равна пулю. В математике доказывается, что:

Ах) имеет максимальное значение при данном значении х, если /'(х) = 0, а вторая производная /" (х) отрицательна;

Ах) имеет минимальное значение, если/'(х) = О, а/" (х) поло­жительна.

Если вторая производная /" (х) также равна нулю, правило /'(х) = 0 является необходимым, но недостаточным; в этом слу­чае нужно пользоваться другим достаточным условием экстрему­ма. Следует определить первую производную сначала для значе­ния х немного меньше, а затем немного больше исследуемого уровня. Если знак производной будет меняться с положительно­го на отрицательный, функция имеет в данной точке максимум, а если, напротив, с отрицательного на положительный — мини­мум. Если же знак производной не меняется, то функция не име­ет ни максимума, ни минимума.

На методах дифференциального исчисления основаны также многие задачи математического программирования, когда прихо­дится отыскивать экстремум функции при некоторых ограниче­ниях, накладываемых на аргументы (переменные).

При землеустройстве нередко приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку эконо­мические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены в теории функций нескольких перемен­ных; здесь также используются методы дифференциального ис­числения.

Исследование большинства производственных функций так­же базируется на методах дифференциального исчисления. Ши­роко используемые предельные (маржинальные) показатели про­изводственных функций с точки зрения математики — это про­изводные (в случае функции одной переменной) или частные производные (для функции нескольких переменных).

В экономическом анализе часто требуется знать, на какую ве­личину вырастет результат, если будут увеличены затраты (или наоборот, насколько он уменьшится, если затраты сократятся). С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невоз­можно. В подобных задачах требуется определить предел отно­шения приростов результата и затрат — так называемый маржи­нальный эффект.

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, необходимо най­ти наибольшую площадь земельного участка Р, выделяемого под

полевой стан при заданной длине изгороди Ь. Участок должен иметь форму прямоугольника с длиной изгороди, равной его пе­риметру.

Обозначим длину и ширину прямоугольника соответственно через а и Ь. Тогда, очевидно,

Ь = 2а + 2Ь; Р=аЪ.

Первое выражение является условием, а второе — функцией, которую надо привести к максимуму. Чтобы решить данную за­дачу простейшим способом, необходимо перейти к функции с одной переменной.

Для этого из первого уравнения выразим значение Ъ: 2Ь = Ь -

—2а или Ъ= — а. Тогда функцию цели запишем так:

/{х)=Р=а

(Ь Л 1а

2 ^й

После этого находим первую производную и приравниваем ее к нулю:

/'(х)=|-2я=0.

Ь _и Ь III Отсюда ^Й=Т' Т^{_а, =}Т~Т⁼Т' ^{то есть полевои стан с} макси­мальной площадью должен иметь форму квадрата со стороной,

Ь равной — •

Вторая производная /" (х) = —2 отрицательна, что свидетель­ствует о максимуме функции.

Данную задачу можно решить также с использованием основ­ных положений теории неравенств. К ним, в частности, относит­ся теорема о среднем арифметическом и среднем геометричес­ком неотрицательных чисел; согласно этой теореме среднее арифметическое любых п неотрицательных чисел а_ь а₂,..., а_п не меньше их среднего геометрического, то есть

щ+а₂ +...+а_п ^„г— —

> ща^а_г, ~., а_п,

причем равенство достигается лишь в том случае, когда а₁ = а₂=... = а_п.

Важное значение в инженерных расчетах имеет неравенство

\а\ + Щ> \а + Ц,

то есть сумма абсолютных величин двух чисел больше или равна абсолютной величине их суммы. Неравенство обращается в ра-пснство только в том случае, когда числа ая Ь имеют одинаковые и тки.

Используя теорему о среднем арифметическом и среднем гео­метрическом, решим вышеприведенную задачу. Исходя из этой теоремы, можно записать

Учитывая то, что а+Ь=~, неравенство примет следующий вид:

— > 4аЬ или —-> аЪ=Р.
4 16

Поскольку в левой части последнего неравенства стоит кон­станта (X —величина заданная), при изменении а и Ь меняется только его правая часть. Следовательно, равенство достигается при наибольшем значении произведения аЪ. Но, по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом, это проис­ходит, когда а = Ь, то есть когда стороны прямоугольника одина­ковы и равны — • Таким образом, прямоугольником наибольшей

площади с заданным периметром будет квадрат.

Используя неравенства, можно решить и обратную задачу: оп­ределить прямоугольник с наименьшим периметром Ь, ограни­чивающий заданную площадь Р. Эта задача формулируется так: определить 2а + 2Ь = X -» тт при заданной площади Р.

_ а+Ь г—г

Возводя неравенство ——> ыаЬ в квадрат, получим

(а+Ь)²

^к _л > > аЬ=Р-

Отсюда а+Ъ> 2-1Р или Ь=2а+2Ь> < \-/Р. Следовательно, пери­метр искомого многоугольника должен быть не меньше 4-/Р. Учитывая, что неравенство обращается в равенство только при условии а = Ь, получим

4а=4л/Р, или а^Р.

Таким образом, прямоугольником оптимальной формы будет

квадрат. Аналогично можно доказать, что из всех треугольников заданного периметра максимальную площадь имеет равносто­ронний.

Описанные методы достаточно просты, но далеко не всегда применимы, особенно в тех случаях, когда условия задачи слож­ные и невозможно прямо выразить одну переменную через дру­гую. Тогда задачу решают на условный экстремум по методу Лаг­ранжа.