Классификация математических моделей, применяемых в землеустройстве

Классификационный признак

Виды моделей

Вид проектной документа- Графические

ции Экономические

Степень определенности ин- Детерминистические

формации Стохастические

Вид (форма) землеустрой- Межотраслевые

ства или землеустроительно- Межхозяйственного землеустройства

го действия Внутрихозяйственного землеустройства

Рабочего проектирования

Продолжение

Классификационный признак

Виды моделей

Математические методы, ле- Аналитические (дифференциального исчисления)
жащие в основе модели Экономико-статистические (математической стати-

стики)

Оптимизационные (математического программиро­вания)

Балансовые (межотраслевого баланса)
Сетевого планирования и управления
Прочие
Класс проекта землеустрой- Распределяются по классам проектов землеустрой­
ства ства*

* Землеустроительное проектирование. — М.: Колос, 1997. — С. 47—48. Здесь выделено 37 классов таких проектов.

По первому признаку модели делятся на два типа: графичес­кие и экономические, что обусловлено рядом причин. Прежде всего землеустроительные решения всегда выражаются в виде определенной пространственной организации территории (сис­тема севооборотов, полей, рабочих участков, дорог, лесополос, границ и т.д.). Далее, с ней тесно связаны система расселения и организация производства. Таким образом, любое землеустрои­тельное решение можно, с одной стороны, «посмотреть» (на пла­не, на местности, в проекте), с другой — просчитать через пока­затели эффективности производства и оценить, насколько оно выгодно.

Землеустроительная документация всегда делилась на две час­ти — графическую и текстовую, причем основу последней со­ставляли расчеты. С развитием информатики и средств вычисли­тельной техники появилась возможность иметь самостоятельные математические модели для графической и расчетной частей, что и определяет необходимость соответствующего деления. Графи­ческие модели могут считаться экономико-математическими лишь условно, так как они лишь характеризуют в цифровом виде условия производства (например, дают цифровую модель мест­ности). Тем не менее они тесно связаны с моделями организации производства и территории, которые и являются собственно эко­номическими.

Графические математические модели характеризуют различные элементы проекта землеустройства или их совокупности, кото­рые показываются на проектном плане; к ним относятся пло­щадные, линейные и точечные объекты.

Площадные объекты — это отдельные землевладения и земле­пользования, севообороты, их поля и рабочие участки, загоны очередного стравливания, гуртовые (отарные) участки, пастби­ще- и сенокосообороты, бригадные участки и т.д. Они характе-

ризуются площадью, координатами поворотных точек и центра тяжести, что позволяет определять местоположение этих участ­ков, их форму и другие параметры.

Линейные объекты представляют собой линейные элементы организации территории. К ним относятся полевые и магист­ральные дороги, лесополосы, инженерные коммуникации (газо­проводы, ЛЭП и др.), отдельные границы участков, зон и т.д. ')ти объекты могут размещаться на местности в виде прямых и ломаных линий, а также в виде кривых. Они характеризуются протяженностью, шириной, координатами начальных, конечных и промежуточных точек.

Точечные объекты позволяют определять на местности место­положение отдельных инженерных сооружений (таких, напри­мер, как колодцы, родники, буровые вышки и т.д.). Их размеще­ние характеризуется местоположением.

Графические модели следует отличать от геометрических, так как первые имеют только математический характер и обязатель­но цифровой или числовой вид. Вторые могут давать характерис­тику графической части проекта и в традиционной форме (на­пример, в виде чертежа, оформленного вручную).

Экономические модели, применяемые в землеустройстве, пред­ставляют собой выраженные в математической форме различные расчеты по проектам землеустройства. К ним относятся модели агроэкономического обоснования проектов внутрихозяйственно­го землеустройства, технико-экономических обоснований (ТЭО) проектов межхозяйственного землеустройства, сметно-финансо-вые расчеты рабочих проектов и др.

В зависимости от степени определенности информации, ис­пользуемой в математических моделях, они делятся на два вида: детерминированные и стохастические.

Детерминированные модели основаны либо на абсолютно точ­ной информации, либо на сведениях, которые условно считают­ся точными. Полученные с использованием этих моделей дан­ные находятся в функциональной связи с набором независимых переменных, то есть решения задач полностью и однозначно оп­ределяются этим набором переменных.

Стохастические модели основаны на информации, имеющей стохастический (вероятностный) характер. Например, при пла­нировании урожайности сельскохозяйственных культур (резуль­тат) невозможно знать заранее будущие погодные условия (фак­торы). Эти условия задаются в моделях с определенной степенью вероятности. Соответственно полученные результаты также бу­дут устанавливаться с определенной степенью вероятности.

Исходя из вида (формы) землеустройства или осуществляемо­го землеустроительного действия, народнохозяйственного значе­ния землеустроительных проблем и охвата объектов землеустро­ительного проектирования, математические модели подразделя-

ются на четыре основных класса: межотраслевые, межхозяй­ственного землеустройства, внутрихозяйственного землеустрой­ства и рабочего проектирования.

Межотраслевые модели обеспечивают решение задач по про­гнозированию и оптимальному планированию использования зе­мельных ресурсов и их охране по стране в целом, на уровне субъекта Федерации, местной администрации и т. п.

Модели данного класса позволяют оптимизировать распреде­ление земель по категориям земельного фонда страны (земли сельскохозяйственного назначения; промышленности, транс­порта, связи, обороны и иного специального назначения; лесно­го фонда; запаса и др.), решать задачи по развитию агропромыш­ленного производства в регионах, по планированию и осуществ­лению природоохранных мероприятий и т. д.

Основным видом землеустроительных работ, включающим модели этого класса, является разработка генеральных схем ис­пользования и охраны земель страны (субъекта Федерации) и схем и землеустройства административных районов и других тер­риторий, находящихся в ведении местных администраций.

Модели межхозяйственного землеустройства позволяют решать задачи по перераспределению земель между хозяйствами; по об­разованию или упорядочению землевладений и землепользова­нии сельскохозяйственного и несельскохозяйственного назначе­ния; по установлению границ административно-территориаль­ных образований, черты населенных пунктов и т. п. К данному классу относятся задачи по определению оптимальных размеров землепользовании и рациональному размещению производства на территории, по наиболее целесообразной ликвидации недо­статков в использовании земельных ресурсов и др.

Модели внутрихозяйственного землеустройства предназначены для решения вопросов наиболее полного, рационального и эф­фективного использования земель и организации производства в конкретных сельскохозяйственных предприятиях. Основные за­дачи данного класса — установление оптимального сочетания от­раслей, состава и площадей угодий; определение видов, количе­ства и площадей севооборотов и их размещение; рациональная организация кормопроизводства; планирование грузоперевозок; планирование комплекса мелиоративных работ; оптимальная трансформация угодий; оптимизация размеров производствен­ных подразделений и др.

Модели рабочего проектирования обеспечивают решение раз­личных задач, связанных с землеустройством конкретных зе­мельных участков и инвестициями в эти земли (создание ороша­емых культурных пастбищ, выполаживание оврагов, трансфор­мация и мелиорация земельных участков, строительство прудов, дорог и дорожных сооружений, закладка многолетних насажде­ний и т. п.).

Сложность математических моделей каждого класса зависит от числа учитываемых факторов и характера взаимосвязи между ними, от наличия, точности и достоверности исходной информа­ции и от особенностей изучаемого процесса или явления. Кроме того, она определяется и конструктивными особенностями моде­ли (количеством переменных, их степенью, количеством усло­вий, видом целевой функции и др.).

В практической работе большое значение имеет классифика­ция экономико-математических моделей в зависимости от лежа­щих в их основе математических методов. По этому признаку все модели можно разделить на аналитические, экономико-статисти­ческие, оптимизационные (нередко именно их называют эконо­мико-математическими, так как в общей системе моделей они за­нимают главное место), балансовые, сетевого планирования и др.

Для использования моделей указанных типов необходимо хо­рошо знать соответствующие методы (математической статисти­ки, математического программирования и т. д.). Вместе с тем ряд землеустроительных задач требует разработки нестандартного математического аппарата, особых методов моделирования.

Аналитические модели в землеустройстве основаны на приме­нении классического математического аппарата (алгебра, диффе­ренциальное и интегральное исчисление, геометрия, тригоно­метрия, математический анализ); при этом требуются доказа­тельство различных теорем и вывод необходимых формул.

Как правило, аналитические модели имеют вид формул и от­ражают функциональные зависимости. Каждому определенному значению фактора (независимой переменной) или множества факторов соответствует строго определенное значение результа­та. Типичным примером аналитической модели является форму­ла для расчета условной длины поля (рабочего участка) Ь:

ЗН + с + а"

где Р— площадь поля, м²; Я— высота (геометрическая) на фигуре поля, м; с + с1 — сумма длин линий, не параллельных основному направлению обработки поля (ра­бочего участка), м.

С помощью аналитических моделей в землеустройстве рас­считывают, как правило, технические показатели проектов: сред­ние расстояния, рабочие уклоны, коэффициенты компактности землепользовании и др.

Экономико-статистические модели базируются на использова­нии теории вероятностей и методов математической статистики (корреляционного, регрессионного, дисперсионного анализа, те­ории выборок и т. д.). Главное место среди них занимают произ­водственные функции, представляющие собой уравнения статис­тической (усредненной) связи зависимой переменной (результа-

та) и факторов-аргументов. С помощью этих моделей при земле­устройстве рассчитывают прогнозируемую урожайность культур, продуктивность животных, а также некоторые параметры орга­низации территории (распаханность, облесенность, освоен­ность). Они полезны также при анализе уровня использования земли; с их помощью подготавливается необходимая информа­ция для применения оптимизационных методов, производится обоснование землеустроительных проектных решений.

Экономико-статистические модели могут быть функциональ­ными и корреляционными. Первые, по сути, идентичны аналити­ческим моделям, но основаны на статистической информации. А поскольку строго функциональные связи (когда значению фак­торов в уравнении соответствует точно определенное значение результата) в экономике встречаются очень редко, эти модели практически не используются в землеустройстве. Вторые (корре­ляционные) модели базируются на статистических (верных лишь в среднем) связях между факторами. Они могут обладать разной степенью достоверности, так как описывают случайные процес­сы. Уровень достоверности модели оценивается специальным показателем (так называемым коэффициентом корреляции).

Оптимизационные модели основаны главным образом на мето­дах математического программирования, позволяющих находить экстремальные (минимальные или максимальные) значения це­левой функции по искомому перечню переменных при заданных условиях.

Например, в процессе решения задачи необходимо найти та­кие размеры сельскохозяйственного предприятия (общая земель­ная площадь, состав земельных угодий и отраслей — искомые пе­ременные), которые, исходя из его специализации, фондоосна-щенности и трудообеспеченности (задаваемые условия), давали бы максимальную прибыль (максимальное значение целевой функции).

Оптимизационные модели в землеустройстве делятся на две разновидности: комбинированные и дифференцированные. При комбинированном моделировании все вопросы землеустроитель­ного проекта решаются комплексно в их взаимообусловленности и взаимозависимости. Такой подход в принципе правильнее, од­нако он приводит к громоздким задачам, решение которых зат­руднительно. Суть дифференцированного моделирования заклю­чается в последовательном решении нескольких задач по проекту (например, по его составным частям). Модели получаются зна­чительно меньшего объема, и их решение существенно облегча­ется. Применение именно дифференцированного моделирова­ния в землеустройстве объясняется сложностью объектов и мно­гообразием решаемых вопросов.

Дифференцированное моделирование в известном смысле представляет собой аппроксимацию комбинированной модели.

Говоря об информационных системах, У. Эшби писал: «Когда системы становятся сложными, то их теория практически заклю­чается в том, чтобы найти пути их упрощения» (Эшби У. Систе­мы информации. — Вопросы философии. — 1964. — № 3).

Аппроксимация осуществляется различными способами: либо модель рассматривает часть сложной системы, абстрагируясь от нсех других ее сторон (частная аппроксимация), либо она упро­щается, чтобы быть в дальнейшем запрограммированной с пос­ледующим наращиванием информации (полная аппроксимация). Этот способ предполагает последовательное накопление в серии аппроксимирующих (частных) моделей информации обо всей моделируемой системе с неуклонным продвижением от бедных информацией моделей малого числа измерений ко все более ин­формационно емким моделям. Так поступают и при последова­тельной проверке алгоритма модели.

Например, при организации угодий и севооборотов (одна из составных частей проекта внутрихозяйственного землеустрой­ства) моделируются и решаются следующие задачи: установление состава угодий и их площади; планирование трансформации, улучшения и размещения угодий; установление типов, видов, числа севооборотов и внесевооборотных участков, их размеще­ние.

При решении отдельных вопросов организации угодий и севооборотов с использованием моделей будет иметь место дифференцированное моделирование, при совместном — ком­плексное. Однако следует иметь в виду, что при дифференци­рованном моделировании каждой составной части проекта не­обходимо учитывать взаимосвязь всех проектировочных реше­ний по организации угодий и севооборотов, что предполагает совместное применение как моделирования, так и традицион­ных методов.

Аппроксимация моделей связана с таким их важным свой­ством, как унификация. На базе унифицированных моделей (упро­щенных и пригодных для решения широкого круга землеустрои­тельных задач) возможно широкое применение автоматизиро­ванных компьютерных технологий.

Оптимизационные модели применяются, как правило, для раз­работки наилучших (с точки зрения выбранного критерия) про­ектных землеустроительных решений. Основу их составляют оп­тимальные варианты организации производства и территории сельскохозяйственных предприятий, а также наиболее эффек­тивные варианты развития землевладения и землепользования (оптимальная специализация хозяйств, необходимые размеры перераспределения земель, оптимальные размеры и т. д.).

Балансовые модели обеспечивают обоснование и определение наилучших пропорций территориальной организации производ­ства с учетом его факторов и результатов. Они имеют форму мат-

риц, систем таблиц и т. п. В землеустроительных расчетах могут использоваться при обосновании проектных решений (балансы кормов, труда, расчеты населения на перспективу, баланс транс­формации и перераспределения земель и т.д.).

Модели сетевого планирования и управления, базирующиеся на одноименных математических методах, применяются при плани­ровании и организации землеустроительных работ, при разра­ботке планов перехода к новому составу угодий и новым сево­оборотам, при составлении планов реализации проекта землеуст­ройства и авторского надзора.

В настоящее время модели данного класса находятся в стадии практической разработки; часть из них будет рассмотрена ниже.

3.3. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ

Практика показывает, что экономико-математические методы в землеустройстве оказываются полезными лишь в том случае, когда выдержаны определенные требования к их применению.

1. Прежде всего не следует забывать, что в основе экономико-
математического моделирования лежат количественные методы
анализа. Это предполагает детальное изучение объекта проекти­
рования, выявление различных зависимостей и взаимосвязей, их
математическое описание в виде набора переменных величин,
уравнений, неравенств и т. д. Вместе с тем никакие математичес­
кие методы не позволят принять приемлемое решение, если не
будут в должной мере учтены выводы, полученные в ходе каче­
ственного анализа.

В основе такого анализа лежит здравый смысл, а также знание экономических законов, понятий и категорий, благодаря чему ис­ключаются логические ошибки и заведомо неприемлемые реше­ния. В конце концов математический аппарат — это лишь вспомо­гательное средство, орудие количественного анализа, а также тех­ника, позволяющая более обоснованно, быстро и точно находить нужные решения, в основе которых всегда лежат качественные за­кономерности, изучаемые землеустроительной наукой.

2. Разрабатываемые модели должны учитывать экономичес­
кие, технологические, землеустроительные, технические и дру­
гие условия, в которых находится землеустраиваемый объект.

К экономическим условиям относятся: размеры и сочетание отраслей, виды ресурсов, гарантированные объемы производ­ства, условия реализации и распределения продукции. К техно­логическим — агротехнические особенности возделывания сель­скохозяйственных культур, ветеринарные и зоотехнические тре­бования к выращиванию животных и т. д.

Землеустроительные условия характеризуют особенности организации территории и производства (размещение населен­ных пунктов, земельных массивов производственных подразде­лений, производственных центров, организация угодий и уст­ройство территории севооборотов, качество земель и т. д.); они составляют основу любой модели, которую предполагается ис­пользовать при землеустроительном проектировании.

Технические условия — это наличие у разработчика средств вычислительной техники и программного обеспечения, что дик­тует требования по выбору типа моделей, размерности задач, сте­пени детализации решений. Другими словами, экономико-мате­матические модели должны быть приведены к виду, позволяю­щему их решать на имеющейся вычислительной технике.

Учет всех перечисленных условий позволит построить эконо­мико-математическую модель, наилучшим образом соответству­ющую изучаемому объекту, и избежать в последующем ее трудо­емкой доработки и многочисленных корректировок полученных решений.

3. Возможности моделирования прямо связаны с качеством исходной информации. Никакое решение не будет приемлемым, даже если оно и получено с использованием самых современных методов, если в его основе лежат недостоверные, неполные или несвоевременно полученные данные. Поэтому необходимо учи­тывать, какие показатели реально могут быть получены на осно­ве имеющихся статистических, экспериментальных и норматив­ных материалов. Кроме того, должно быть обеспечено соответ­ствие между этой информацией и точностью применяемых мате­матических методов в процессе реализации модели.

4. Использование экономико-математических методов и мо­делей не является самоцелью. Поэтому не нужно вводить ничего лишнего в условия задачи, заранее навязывать то или иное реше­ние, пытаться «помочь» машине в выборе оптимума. Нельзя так­же абсолютизировать полученные на компьютере результаты; их следует тщательно проанализировать, проверить и только потом использовать для дальнейших действий.

Необходимо иметь в виду, что полученное математическими методами оптимальное решение (математический оптимум) нео­бязательно согласуется с экономической целесообразностью (экономическим оптимумом). Это часто бывает в тех случаях, когда модель не вполне адекватна изучаемому объекту. Тогда, оценивая решение логическим, экспертным или специальным математическим путем, а также осуществляя определенные кор­ректировки, математический и экономический оптимумы приво­дят в соответствие.

Это достигается двумя основными способами — корректиров­кой самой модели с последующим решением новой задачи или же путем непосредственной корректировки решения без измене-

ния модели. В первом случае изучают составленную модель, вы­являют неучтенные факторы и вводят в модель соответствующие ограничения. Во втором случае результаты подправляют вручную и проводится их повторный анализ. Применение того или иного способа зависит от степени соответствия разработанной модели условиям рационального использования земель.

5. Экономико-математические модели не должны быть очень
громоздкими, так как любое усложнение модели может привес­
ти к обратному эффекту — не к повышению точности решения,
а к ее снижению из-за случайных или систематических ошибок,
неизбежных при работе с приближенными числами. Кроме
того, громоздкую модель очень трудно исправлять и модифици­
ровать.

Поэтому по возможности модели должны быть максимально упрощены, укрупнены и унифицированы. Необходимо, однако, иметь достаточное количество переменных и ограничений, кото­рое позволяет получить приемлемое решение.

6. Одно из главных требований к моделированию — примене­
ние комплекса моделей, охватывающих все стороны проекта
землеустройства, их логическая, информационная, технологи­
ческая и экономико-математическая увязка. Как правило, анали­
тические и экономико-статистические методы используются со­
вместно или предшествуют оптимизационному моделированию,
что объясняется рядом причин.

Во-первых, необходимы обработка имеющейся информации, ее анализ и оценка (для этого используют методы аналитических группировок, дисперсионный и факторный анализ, составляют ряды динамики, рассчитывают различные статистические вели­чины—дисперсии, коэффициенты вариации и т.д., вычисляют технические показатели, используемые при составлении проек­та, — рабочие уклоны, уклоны местности, определяют допусти­мые размеры межполосных участков и т. д.).

Во-вторых, необходима подготовка исходной информации не­посредственно для целей проектирования и прогнозирования коэффициентов использования различных ресурсов, составления основной матрицы экономико-математической модели. Здесь также используют различные виды статистического анализа, строят производственные функции.

В-третьих, наличие в сельском хозяйстве непредсказуемых факторов, его зависимость от природно-климатических условий требуют оценки вероятности получения различных результатов. Знание выявленных таким путем закономерностей позволяет предвидеть, как различные случайные факторы будут сказывать­ся при использовании модели.

На основании вышеизложенного можно кратко сформулиро­вать основные требования, предъявляемые к использованию ма­тематических методов и моделей в землеустройстве:

сочетание при моделировании количественного и качествен­ного анализа с приоритетом последнего;

учет экономических, технологических, землеустроительных, технических и других условий;

использование надежной информационной базы, соответ­ствующей целям решаемых задач и задаваемой точности вычис­лений;

приведение в соответствие математического и экономическо­го оптимумов путем анализа и корректировки моделей и резуль­татов решений, полученных математическими методами;

максимально возможное упрощение моделей, их унификация для более быстрого и экономичного решения землеустроитель­ных задач при необходимой точности;

комплексное применение математических методов и моделей различных типов в проектах землеустройства.

В любом случае при использовании в проектах экономико-ма­тематических методов и моделей следует руководствоваться об­щими принципами землеустройства и создавать организацион­но-территориальные условия, способствующие рациональному и эффективному использованию земель, повышению плодородия почвы и высокопроизводительному использованию техники с целью получения максимального количества продукции с каждо­го гектара земельных угодий при оптимальных затратах труда и средств.

Контрольные вопросы и задания

1. Приведите известные вам определения экономико-математической модели и объясните их смысл.

2. Что представляет собой экономико-математическое моделирование?

3. Каковы особенности землеустроительных экономико-математических моде­лей?

4. По каким признакам можно классифицировать математические модели, применяемые в землеустройстве?

5. Какие классы экономико-математических моделей могут применяться при землеустроительном проектировании?

6. Для каких целей в землеустройстве могут применяться аналитические, эко­номико-статистические и оптимизационные модели?

7. Чем отличается дифференцированное моделирование от комбинированного?

8. В чем сходство и различие аналитических и функциональных экономико-статистических моделей? Почему их нельзя объединять в один класс?

9. Перечислите требования, предъявляемые к использованию математических методов в землеустройстве.

10. Какие требования, на ваш взгляд, можно было бы добавить к перечислен­
ным?

Раздели

АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ

•

Г л а в а 4

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

4.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА

Широкое применение в землеустройстве находят аналитичес­кие модели, представляющие собой определенную функцию, вы­ражающую взаимосвязь между несколькими признаками (пока­зателями). В основу их построения заложено два исходных прин­ципа:

предполагается, что аналитическая модель имеет функцио­нальный характер, то есть задается формулой, графиком, табли­цей или другим способом, в котором каждому значению фактора (независимой переменной) или совокупности значений факто­ров в множественных зависимостях соответствует строго опреде­ленное значение результативного показателя;

имеется в виду, что аналитические модели являются детерми­нированными, то есть они основаны не только на математичес­кой связи между переменными, но также предполагается, что от­сутствуют случайные (вероятностные) воздействия на эти пере­менные.

В землеустройство первые аналитические модели (функции) пришли из геодезии; при проектировании они использовались для расчета различных технических показателей:

площадей земельных участков различной конфигурации (се­вооборотов, полей, загонов очередного стравливания, рабочих участков, землевладений и землепользовании и т.д.);

средних расстояний от хозяйственных центров до угодий;

уклонов местности (эти показатели позволяют оценить проект землеустройства с точки зрения учета рельефа);

коэффициентов компактности землепользовании, дальнозе­мелья, вытянутое™, защищенности полей лесополосами и др., дающих возможность оценить конфигурацию земельных участ­ков, их форму, местоположение населенных пунктов и произ­водственных центров на территории и т. д.

На основании аналитических моделей производился расчет различных экономических характеристик проекта землеустрой­ства. Так, например, средние расстояния использовались для оценки транспортных расходов на перевозку грузов и рабочих; уклоны по рабочим направлениям — для анализа затрат по обра­ботке полей и рабочих участков; коэффициенты защищенности полей лесополосами — для расчета стоимости дополнительной продукции полеводства, получаемой за счет агроклиматического воздействия лесных насаждений и т. д.

Аналитические модели в землеустройстве основаны на приме­нении классических математических методов: геометрии, триго­нометрии, алгебры, дифференциального и интегрального исчис­лений и т. д. Для их построения могут применяться как уже изве­стные, так и новые теоремы и формулы. В моделях используются различные математические величины: средние взвешенные, средние геометрические, средние арифметические и т. д.

Так, аналитическая модель рабочего уклона в полях с прямы­ми склонами, полученная с использованием классической гео­метрии, выглядит следующим образом:

/„=•^■ •100,

где /_р — рабочий уклон, %; р — превышение, м; О — горизонтальное положение, м.

Общий средний уклон местности в процентах (7_М) на террито­рии севооборота или поля может вычисляться по формуле

. _ С-/1-100

^гм - р

где С —длина всех горизонталей на территории севооборота (или поля), м; к — се­чение рельефа, м; Р— площадь севооборота (поля), м².

Пусть, например, на площади севооборота 1500 га (15 000 000 м²) все имеющиеся горизонтали дают длину 75 км (75 000 м), сечение рельефа 5 м. Тогда

75000-5.100 _асо/

и, = = 2, 5%.

^м 15000000

При аналитическом способе вычисления площадей и проек­тировании различных земельных участков помимо общеизвест­ных формул геометрии в землеустройстве наиболее применимы­ми являются следующие аналитические модели площадей тре­угольников и четырехугольников (рис. 1), которые легко доказы­ваются.

Рис. 1. Обозначения, используемые при