Гіперболічні функції. 1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

Урок №___ 15 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Постановка завдання _

Питання: 1. Чисельні коефіцієнти

2. Метод найменших квадратів

Функція де - чисельні коефіцієнти, називається узагальненим багаточленом за системою функцій . Нехай довільна функція . Постає задача знаходження такого багаточлена вигляду, що відстань що називається також середньоквадратичним відхиленням багаточлена від функції є мінімальною. Багаточлен що має вказану властивість, називається багаточленом найкращого середньоквадратичного наближення функції . Якщо система функцій лінійно незалежна, то для будь-якої функції багаточлен найкращого середньоквадратичного наближення існує, і притому він єдиний.

У просторі неперервних функцій зі скалярним добутком відстань між двома функціями у вигляді середньоквадратичного відхилення, має вигляд: а в просторі функцій, визначених на дискретній множині точок зі скалярним добутком середньоквадратичне відхилення визначається формулою:

Метод найменших квадратів

Нехай є залежність причому значення х та у отримують з спостережень. Якби виміри та проводилися точно, то для визначення коефіцієнта достатньо було б одного вимірювання.

Для залежності для визначення двох невідомих коефіцієнтів a та b було б достатньо двох точних вимірів.

Оскільки абсолютно точні виміри неможливі, для виключення впливу помилок проводять більшу кількість вимірів. В результаті отримуємо систему, в якій рівнянь більше, ніж невідомих. Постає задача знаходження найбільш ймовірних значень коефіцієнтів, які у загальному випадку не будуть точно задовольняти жодному рівнянню. Ця задача в загальному випадку формулюється таким чином.

Нехай функція незалежної змінної та -го параметра . Ці параметри сталі, але заздалегідь невідомі і повинні бути визначені.

Проведемо п вимірів х та у, . У загальному випадку така система несумісна. Потрібно відшукати значення параметрів, які будуть задовольняти цим рівнянням найкраще, хоча і не точно, тобто потрібно знайти найбільш ймовірні значення параметрів.

Оскільки рівняння задовольняються не точно, запишемо: де – відхилення виміряних значень від обчислених за формулою.

Згідно принципу найменших квадратів, найбільш ймовірними значеннями параметрів будуть такі, при яких сума квадратів відхилень буде мінімальною.

Вважатимемо, що для відхилень справедливий нормальний закон розподілення: . Нехай функція лінійна відносно параметрів

Диференціюючи суму квадратів відхилень за та прирівнюючи до похідної, отримаємо:

Відмітимо, що є скалярним добутком у п -вимірному евклідовому просторі двох векторів та . Після скорочення сталого коефіцієнту та перенесення вільних членів в ліву частину, прийдемо до наступної системи лінійних рівнянь відносно функцій з визначником Грама:

яка називається нормальною.

Суть методу найменших квадратів полягає в тому, що розв’язок цієї системи дозволяє визначити коефіцієнти багаточлена найкращого середньоквадратичного наближення.

Питання для контролю вивченого матеріалу: