Чисельні коефіцієнти 5 страница

Зокрема, для функції трьох змінних:

,

де - направляючі косинуси вектора .

Градієнт функції кількох змінних.

Похідна за напрямком є скалярним добутком вектора і вектора з координатами , який називається градієнтом функції і позначається . Оскільки , де - кут між і , то вектор вказує напрям швидкого зростання функції , а його модуль дорівнює похідній по цьому напряму.

Повний диференціал.

Для приросту функції, що диференціюється справедлива рівність

.

Лінійна по приростах аргументів частка приросту функції називається повним диференціалом функції і позначається .

Похідні і диференціали вищих порядків.

Диференціюючи частинну похідну як функцію декілька змінних по одній із змінних, отримаємо похідні другого порядку. Наприклад, для функції двох змінних: .

Якщо змішані похідні і неперервні, то вони рівні, тобто не залежать від порядку диференціювання. Аналогічно визначаються, наприклад . Якщо при обчисленні повного диференціала від диференціала першого порядку врахувати, що прирости аргументів є числа і залишити їх незмінними, то отримаємо диференціал другого порядку. Наприклад, для функції двох змінних:

.

Тут врахована рівність змішаних похідних другого порядку і прийнято . При цих допущеннях формулу диференціала будь-якого порядку можна отримати з символічного вираження: .

Обчислення другої похідної

На практиці для приближеного обчислення другої похідної функції f(x) використовується наступна формула другої рівничної похідної:

(1)

Підставляючи в вираз для погрішності

розложення по формулі Тейлора

, получим оценку

(2)

Таким чином, формула має другий порядок точності по h.

По мірі збільшення точності формула численного диференціювання стає складнішою, наприклад, для збільшення дугої похідної можно використовувать формулу:

(3)

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Визначення похідної

2. Обчислення другої похідної

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 50 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Нерівномірна сітка ______

Питання: 1. Рівномірна сітка

2. Нерівномірна сітка

Рівномірна сітка

Нехай на сіткі (h – крок сітки) задана сіткова функція . Подивимося для f(x) перший інтерполяційний поліном Ньютона

(1)

Де - кінцеві різниці різних порядків, обчислених в точці . Обчислимо першу похідну, з урахуванням

маємо

(2)

Аналогічно знаходимо другу похідну, з урахуванням

, имеем

(3)

Точка х знаходиться поблизу . Ящо необхідно знайти похідні фінкції у в узлових точках , то формули численого диференціювання спрощуються. В цьому випадку кожне табличне значення аргумента вважати за початкове і будемо важати q=0, отримаємо з (2) та (3)

, (4)

. (5)

Погрешність формули (1) дорівнює

Звідси маємо

{ ( (6)

При х = , q=0 і враховуя

З (6) отримаємо:

При малому h отримуємо , і тому

(7)

Для знаходження похідної в точці, яка знаходиться в кінці таблиці, слід скористатись другою інтерполяційною формулою Ньютона:

(8)

Поліном Ньютона на неравномірній сіткі має вигляд:

(9)

Где Тогда

(10)

Запишемо формули для першої та другої похідної в узлах сітки.

Вважая будемо мати

(11)

(12)

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Рівномірна сітка

2. Нерівномірна сітка

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 56 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Постановка завдання наближеного інтегрування ______

Питання: 1. Чисельне інтегрування функцій

2. Розв’язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

Чисельне інтегрування функцій. Чисельне інтегрування функцій. Квадратурні формули Ньютона –Котеса. Формули прямокутників, трапецій, Сімпсона. Практичні способи оцінювання похибки інтегрування. Правило Рунге. Інтерполяція за Річардсоном.

Розв’язання нелінійних рівнянь з одним невідомим. 1. Обчислити корінь рівняння методом поділу відрізка навпіл з похибкою .

2. Обчислити корінь рівняння методом ітерацій або модифікованим методом ітерацій з похибкою .

3. Обчислити корінь рівняння методом ітерацій або модифікованим методом ітерацій з похибкою .

4. Обчислити корінь рівняння методом Ньютона з похибкою .

5. Користуючись методом Ньютона обчислити кратні корені рівняння .

6. Користуючись методом Ньютона обчислити координати точки екстремуму функції .

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь із заданою матрицею коефіцієнтів А і вектором правої частини b класичним методом Гаусса з вибором головного елемента:

, .

2. Розв’язати систему лінійних рівнянь із заданою матрицею коефіцієнтів А і вектором правої частини b матричним методом Гаусса з вибором головного елемента

, .

Інтерполяція і наближення функцій. 1. Побудувати канонічний інтерполяційний поліном для функції на відрізку з кроком і обчислити значення функції в точці .

2. Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа для функції на відрізку з кроком і обчислити значення функції в точці .

3. Побудувати канонічний поліном Ньютона для функції на відрізку з кроком і обчислити значення функції в точці .

Чисельне інтегрування функцій. 1. Обчислити інтеграл за формулою прямокутників, поділивши відрізок інтегрування на та рівних частин та уточнити розв’язок за правилом Рунге.

2. Обчислити інтеграл за формулою середніх прямокутників, поділивши відрізок інтегрування на та рівних частин та уточнити розв’язок за правилом Рунге.

3. Обчислити інтеграл за формулою трапецій, поділивши відрізок інтегрування на та рівних частин та уточнити розв’язок за правилом Рунге.

4. Обчислити інтеграл за формулою Сімпсона, поділивши відрізок інтегрування на та рівних частин та уточнити розв’язок за правилом Рунге.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Чисельне інтегрування функцій

2. Розв’язання нелінійних рівнянь з одним невідомим

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 59 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Формула Сімпсона _______

Питання: 1. Виведення формули Сімпсона.

2. Квадратурна формула Сімпсона; або формула парабол із залишковим членом.

Виведення формули Сімпсона.

Щоб побудувати триточкову квадратурну формулу з рівновіддаленими вузлами для обчислення наближеного значення , де f(x) – неперервна на [x0-h; x0+h] разом зі своїми похідними до четвертого порядку включно, можна використати інтерполеційний многочлен Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через точки (x0-h; f(x0-h)), (x0; f(x0)) і (x0+h; f(x+h)) і проінтегрувати його по х у межах від х0-h до x0+h.

Проте таку квадратурну формулу будуватимемо тут, користуючись методом невизначених коофіцієнтів. Цей метод, крім того, дає змогу досить просто обчислити її залишковий член. Отже, побудуємо квадратурну формулу вигляду: 1, де А і В – невідомі коофіцієнти, а R(f) – залишковий член.

Щоб дістати рівняння, з яких можна визначити коофіцієнти А і В, подамо функції f(x), f(x0-h) i f(x0+h) в околі точки х0 за допомогою формули Тейлора. Маємо:

, ,

,

.

Підставляючи ці значення функції f(x), f(x0-h).f(x0+h) у формулу 1 і беручи до уваги, що , (тут за загальною теоремою про середнє , для залишкового члена R(f) дістанемо:

.

Невідомі коофіцієнти А і В доберемо так, щоб

Звідси знаходимо .

За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули (1).

.

Але f^(iv) неперервна на [х0-h, x0+h], тому існує точка [x0-h, x0+h] така, що

Отже, , (2)

Таким чином, триточкову квадратурну формулу 1 можна записати так:

(3)

Це і є квадратурна формула Сімпсона; або формула парабол із залишковим членом. Вона точна для многочлена третього степеня, бо похідна четвертого порядку від такого многочлена дорівнює 0.3 формули 2 легко знайти таку оцінку для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою Сімпсона: .

Якщо треба обчислити з достатньою точністю, то відрізок [a, b] ділять на 2n рівних відрізків завдовжки і до кожного з відрізків [x2k; x2k+2], (k=0, 1, …, n-1) застосовують формулу Сімпсона 3.

Тоді , де .

Оскільки f^(iv)(x) не перервна на відрізку [a; b], то існує точка така, що .

Таким чином дістанемо узагальнену формулу Сімпсона із залишковим членом вигляду:

. (4)

Залишковий член узагальненої формули Сімпсона:

(5)

Звідси дістаємо таку оцінку абсолютивної похибки чисельного інтегрування за узагальненою формулою Сімпсона:

,

(6)

Якщо наближене значення інтеграла треба обчислити з точністю , то відповідний крок інтегрування визначається нерівністю , або, що те саме відрізок [a; b] треба поділити на n рівних частин, де

(7)

За узагальненою формулою Сімпсона обчислимо наближене значення інтеграла з кроком h=0.1 і оцінимо повну абсолютну похибку .

Користуючись цією таблицею

за формулою знайдемо: І_ан = 0, 38177448 ≈ 0, 3817745.

Щоб оцінити залишковий член R(f) формули Сімпсона за формулою , треба знайти похідну четвертого порядку функції f(x)=xcosx. Маємо: , звідки

Тому для залишкового члена R(f) за формулою 6 (a=0; b=1; h=0.1M₄=5)дістанемо |R(f)|≤ 0.278х10^-5.

Похибка остаточного округлення ∆ ₀=0.2х10^-7, а неусувна похибка , бо , а значення підінтегральної функції f у вузлах x_{k(k=0.1, …, 10)} обчислювали з точністю 0.5х10^-7 тобто ∆ _f=0.5х10^-7.

За формулою для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку:

∆ _І=0.278х10^-5+0.5х10^-7+0.2х10^-7=0.285х10^-5< 0.3х10^-5.

Отже, обчислення за формулою Сімпсона для n=10, h=0.1 наближене значення інтервала має значення п’ять правильних значущих цифр, тобто . найбільший внесок у повну абсолютну похибку узагальненої формули Сімпсона вносить залишковий член R(f). Тому для визначення кількості відрізків n розбиття [a; b], яке гарантує обчислення наближеного значення інтеграла з точністю , досить скористатися формулою .