Разделы сайта

Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Чисельні коефіцієнти 6 страница

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒

Звичайно, всі проміжні обчислення при цьому слід проводити з точністю, більшою за .

Наприклад, щоб обчислити наближене значення інтеграла з точністю , треба відрізок [0; 1] поділити не менш як на три рівні частини, бо за формулою (7) (a=0, b=1, M₄=5) маємо .

Обчислимо інтеграл за формулою:

, поклавши n=2, 4, 8, 16 (це відповідає n=0, 25; 0, 125; 0, 0625; 0, 03125).

Знайдемо І₂=0, 38182200; І₄=0, 3817763; І₈=0, 38177346; І₁₆=0, 38177333. А це означає, що І₂ має три, І₄ – п’ять, І₈ – шість правильних значущих десяткових цифр.

Що ж до І₁₆, то тут усі вісім цифр правильні.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Виведення формули Сімпсона.

2. Квадратурна формула Сімпсона; або формула парабол із залишковим членом.

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 62 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Квадратурна формула Чебишева _______

Питання: 1. Квадратурна формула Чебишева

Розглянемо квадратурну формулу види:

функцію f (x) будемо ісать у вигляді коли f (x) многочлен виду f (x) = ao + a1x +...+ anxn. Проінтегрувавши, перетворивши і підставивши значення многочлена у вузлах

f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n

f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n

................

f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn

отримаємо формулу Чебишева.

Значення х1, х2,.., хn для різних n наведені в таблиці 1.

Таблиця 1 - Значення х1, х2,.., хn для різних n.

n	I	ti	n	i	ti
	1; 2	± 0, 577350		1; 6	± 0, 866247
	1; 3	± 0, 707107		2; 5	± 0, 422519
				3; 4	± 0, 266635
	1; 4	± 0, 794654		1; 7	± 0, 883862
	2; 3	± 0, 187592		2; 6	± 0, 529657
	1; 5	± 0, 832498		3; 5	± 0, 321912
	2; 4	± 0, 374541

2. Рішення контрольного прикладу

де a=0; b= ; при n=5;

f(x) = sin(x);

i	xi	yi
	0, 131489	0, 131118
	0, 490985	0, 471494
	0, 785	0, 706825
	0, 509015	0, 487317
	0, 868511	0, 763367

x1= p/4+p/4*t1=p/4+p/4(-0, 832498)=0, 131489

x2= p/4+p/4*t2=p/4+p/4(-0, 374341)=0, 490985

x3= p/4+p/4*t3=p/4+p/4*0=0, 785

x4=1- x2=1-0, 490985 = 0, 509015

x5=1- x1=1-0, 131489=0, 868511

y1=sin(x1) = sin(0, 131489)=0, 131118

y2=sin(x2) = sin(0, 490985)=0, 471494

y3=sin(x3) = sin(0, 785)=0, 706825

y4=sin(x4) = sin(0, 509015)=0, 487317

y5=sin(x5) = sin(0, 868511)=0, 763367

I = p/10(0, 131118+0, 471494+0, 706825+0, 487317+0, 763367) =

=p/10*2, 560121=0, 8038779.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Квадратурна формула Чебишева

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 64 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Числове обчислення інтегралів на ЕОМ. Використовуя розглянуті методи

Питання: 1. Основні визначення та поняття

Інженеру часто доводиться зіштовхуватись з диференційними рівняннями і системами диференційних рівнянь при розробці нових виробів чи технологічних процесів, так як більша частина законів фізики формалізується саме у вигляді диференційних рівнянь. Будь-яка задача проектування, яка зв’язана з розрахунком потоків енергії чи руху тіл, в кінцевому рахунку зводиться до розв’язку диференційних рівнянь. Нажаль, лише дуже малу частину з них можливо вирішити без допомоги обчислювальних машин. Тому чисельні методи розв’язку диференційних рівнянь відіграють важливу роль у практиці інженерних розрахунків.

Основні визначення та поняття

Рівняння, у якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням. Наприклад

Якщо невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, залежить тільки від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним. Наприклад, диференціальні рівняння

відносяться до звичайних.

Якщо ж невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, є функцією двох чи більшого числа незалежних змінних, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних. Наприклад, диференціальне рівняння

відноситься до рівняння в частинних похідних.

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної (чи диференціала), що входить у рівняння.

Розглянемо звичайні диференціальні рівняння.

Звичайне диференціальне рівняння n-го порядку в самому загальному випадку містить незалежну змінну, невідому функцію і її похідні чи диференціали до n-го порядку включно і має вид

У цьому рівнянні х - незалежна змінна, у - невідома функція, похідні цієї функції.

Розв'язком (чи інтегралом) рівняння (9.1) називається будь-яка диференціюєма функція що задовольняє цьому рівнянню, тобто така, після підстановки, якої у рівняння (1) воно перетворюється в тотожність.

Графік розв’язку звичайного диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.

Розв’язок диференціального рівняння, що містить стільки незалежних довільних (постійних) параметрів, який його порядок, називається загальним розв'язком (чи загальним інтегралом) цього рівняння.

Рисунок 1. – Сімейство інтегральних кривих диференціального рівняння (1)

Геометрично загальний розв’язок диференціального рівняння являє собою сімейство інтегральних кривих цього рівняння (рис. 1).

Частинним розв'язком диференціального рівняння називається будь-який розв’язок, що може бути отриманий з загального при визначених числових значеннях довільних постійних (рис. 1). Довільні постійні, що вхідять в загальний розв’язок, визначаються з початкових або крайових умов.

Методи точного інтегрування диференціальних рівнянь придатні лише для порівняно невеликої частини рівнянь, що зустрічаються на практиці.

Тому в задачах моделювання та дослідження складних технічних систем, наприклад, систем автоматичного управління, великого значення набувають методи наближеного розв’язання диференційних рівнянь, що у залежності від форми представлення розв’язку можна розділити на дві групи:

1) аналітичні методи, що дають наближений розв’язок диференційного рівняння у виді аналітичного виразу;

2) чисельні методи, що дають наближений розв’язок у вигляді таблиці.

Похибки. Перед тим, як перейти до розглядання методів чисельного розв'язання диференційних рівнянь, зупинимося на джерелах похибок, пов'язаних з чисельною апроксимацією. Таких джерел три:

1. Похибка округлення зумовлена обмеженнями на представлення чисел в ЕОМ, тому що число значущих цифр, що запам'ятовується і використовується в обчисленнях, обмежене.

2. Похибка відсічення зв'язана з тим, що для апроксимації функції замість

нескінчених рядів часто використовується лише декілька перших їх членів.

Це звичайний для чисельних методів прийом, що являється джерелом похибки, цілком зумовлених використаним методом і не залежать від характеристик ЕОМ.

3. Похибка поширення являється результатом накопичення похибок, що з'явились у попередніх результатах розрахунку. Так як ні один з наближених методів не може дати зовсім точних результатів, то будь-яка виникла в процесі обчислень похибка зберігається і на наступних стадіях розрахунку (рис. 9.2).

Вказані три джерела похибок є причиною помилок двох типів:

Локальна помилка – сума похибок, що вносяться у розрахунковий процес на кожному етапі обчислення.

Глобальна помилка – різниця між розрахованим та точним значеннями величини на кожному етапі реалізації чисельного алгоритму, що визначає сумарну похибку, що накопичується з моменту початку розрахунку.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Основні визначення та поняття

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 64 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Завдання Коші для звичайного диференціального рівняння

Питання: 1. Основні визначення та поняття

На протязі багатьох років чисельний розв‘язок задачі Коші був об‘єктом пильної уваги науковців оскільки він широко застосовується в різних галузях науки і техніки. Тому і кількість розроблених для нього методів дуже велика.

Чисельні методи розв'язання задачі Коші розділяються на 3 групи:

- одноточкові;

- багатоточкові (методи прогнозу та корекції);

- методи з автоматичним вибором кроку інтегрування.

На рис. 1 представлена класифікація найбільш відомих чисельних методів розв‘язання диференційних рівнянь (ДР) на ЕОМ.

До одноточкових методів відносять методи, які мають певні загальні риси, такі як:

1. В основі усіх одноточкових методів лежить розклад функції в ряд Тейлора, в якому зберігаються члени, що мають h в степені до k включно. Ціле число k називається порядком метода. Похибка на кроці має порядок k+1.

2. Всі одноточкові методи не потребують дійсного обчислення похідних, тому що обчислюється лише сама функція, однак можуть потребуватися її значення в деяких проміжних точках. Це тягне за собою, звичайно, додаткові затрати часу і зусиль.

3. Для отримання інформації у новій точці, потрібно мати дані лише в попередній точці. Цю властивість можна назвати „самостартуваням”. Властивість „самостартуваня” дозволяє легко змінювати величину кроку h.

4. В порівнянні з одноточковими методами методи прогнозу і корекції мають ряд особливостей:

1. Для реалізації методів прогнозу і корекції необхідно мати інформацію про декілька попередніх точок (вони не відносяться до „самостартуючих” методів), тому для отримання додаткової інформації доводиться застосовувати одноточковий метод. Якщо в процесі розв’язку диференційних рівнянь методом прогнозу і корекції змінюється крок, то звичайно тимчасово доводиться переходити до одноточкового методу.

2. Одноточкові методи і методи прогнозу і корекції забезпечують приблизно однакову точність результатів. Однак другі на відміну від перших дозволяють лише оцінити похибку на кроці. З цієї причини, користуючись одноточковими методами, величину кроку h звичайно обирають трохи менше, ніж це необхідно, тому методи прогнозу і корекції виявляються найбільш ефективними.

3. Використовуючи метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності, на кожному кроці доводиться обчислювати чотири значення функції, але для збіжності методу прогнозу і корекції того ж порядку точності часто достатньо двох значень функції. Тому методи прогнозу і корекції вимагають майже вдвічі менше машинного часу, ніж методи Рунге-Кутта порівнюваної точності.

Одноточкові методи розв'язання задачі Коші на ЕОМ

Рисунок 2 – Геометричне розв’язання методом Ейлера

Рисунок 3 – Схема алгоритму метода Ейлера

Схема алгоритму метода Ейлера для розв‘язання системи звичайних диференційних рівнянь наведена на рисунку 4

.Питання для контролю вивченого матеріалу:

2. Основні визначення та поняття

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 66 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Основні поняття теорії різничних схем ______

Питання: 1. Вимоги до обчислювальних алгоритмів

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.