Диагонализация матриц.

Для матрицы A, имеющей n различных характеристических чисел, преобразование вида M-1AM приводит к диагональной матрице D, где M называется модальной матрицей. Матрица M составлена из характеристических векторов матрицы A.

Однако матрица общего вида размерности (n´ n) с кратными характеристическими числами может содержать меньше, чем n линейно независимых характеристических векторов; поэтому приведение к диагональной форме посредством преобразования может оказаться невозможным. Однако можно показать, что произвольная квадратная матрица путем преобразования подобия приводится к канонической матрице Жордана, обладающей следующими свойствами:

1. Диагональные элементы этой матрицы являются характеристическими числами A.

2. Все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю.

3. Если соседние элементы на главной диагонали одинаковы, то элементы, непосредственно находящиеся справа от главной диагонали, равны единицы. Типичная жорданова форма имеет вид:

Заметим, что единицы встречаются в блоках вида

Они называются клетками Жордана.

Количество клеток Жордана, связанных с данным характеристическим числом li, в соответствии с преобразованием подобия, приводящим к жардановой форме, равное количеству собственных векторов, связанных с характеристическим числом, то есть q-дефекту [liI–A]. Однако, определить порядки клеток Жордана нелегко. Поэтому неясно, получается ли в результате преобразования J=M-1AM приведенная выше жорданова форма или форма

Полезно знать, что в случае полной вырожденности не будет присутствовать ни одной единицы. В случае простой вырожденности (q=1) все элементы, непосредственно лежащие справа от главной диагонали, равны единице. Для случаев, не укладывающихся в упомянутые, необходимо использовать для определения J и M метод проб и ошибок, основанный на равенстве

AM=MJ.

Пусть столбцы M обозначаются x1, x2, …, xn. Тогда существует клетка Жордана порядка m, связанная с lI лишь в том случае, если m линейно-независимых векторов x1, x2, …, xm удовлетворяют уравнениям:

Эти выражения применимы для каждой клетки Жордана.