Действия над матрицами

Суммой двух матриц A и B одной и той же размерности m´ n называется матрица C размерности m´ n, элементы которой находятся из условия cij=aij+bij.

Произведение матрицы A размерности m´ n на число k – это такая матрица C размерности m´ n, элементы которой находятся по формуле cij=k× aij.

Произведение согласованных матриц A размерностью m´ n и B размерностью n´ p называется матрица C размерностью m´ p, элементы которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на элементы j-ой строки матрицы B:

Транспонированием матрицы A называется матрица, у которой строки и столбцы поменялись местами.

Пусть A(t) – матрица m´ n, элементы которой aij(t) является дифференцируемыми функциями скалярной переменной t. Производная от A(t) по переменной t определяется как

Подобно произведению от матрицы интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интегралов от элементов исходной матрицы:

Определитель квадратной матрицы A, записываемый как |A|, равен алгебраической сумме всех возможных произведений n элементов, содержащих лишь один элемент из каждой строки и столбца. При этом каждое из произведений положительно или отрицательно в соответствии со следующим правилом. Расположить все возможные произведения в порядке возрастания первых индексов, например, a13a22a31… Определить инверсию как расположение большего целого числа перед меньшим. Знак произведения является положительным, если число инверсий вторых индексов является четным; в противном случае он отрицательный. Например, последовательность 321 содержит три инверсии: 3 перед 2, 3 перед 1 и 2 перед 1.