Визначення діаметра трубопроводу

Приклад 3 Визначіть діаметр трубопроводу d, по якому вода перетікає з одного бака до іншого з витратою Q = 40 л/с, по трубопроводу довжиною ℓ = 80 м, труби сталеві нові, відмітки становлять z_А = 56 м, z_В = 50 м. Коефіцієнти опорів: коліна x_к = 0, 6; засувки x_з = 4, 5. Схема трубопроводу наведена на рисунку 2.5.

Рисунок 2.5

Розв’язання. Розв’язуємо задачу за допомогою рівняння Бернуллі (1.1). Для його застосування призначаємо перерізи. Переріз 1–1 суміщаємо з вільною поверхнею рідини у баці А, 2–2 – з вихідним перерізом труби, площину порівняння сполучаємо із нижчерозташованим перерізом 2–2 (рис. 2.6).

Рисунок 2.6

Тоді відмітки перерізів складатимуть , z₂ = 0. Абсолютний тиск у перерізі 1–1 дорівнює ; тиск у перерізі 2–2 – також дорівнює .

Швидкісним напором у перерізі 1–1 нехтуємо (див. приклад 1), тому приймаємо . Швидкість руху води у вихідному перерізу труби дорівнюватиме швидкості руху води у трубі .

Запишемо параметри перерізів у вигляді таблиці:

1–1	2–2
	z2 = 0

Підставивши параметри перерізів у рівняння Бернуллі, отримаємо

. (2.7)

Скоротивши ліву та праву частини рівняння на й підставивши до рівняння (2.7) вираз для втрат напору (2.2), дістанемо:

.

Розв’яжемо це рівняння відносно швидкості, отримаємо:

. (2.8)

У цьому рівнянні три невідомі величини швидкість V, діаметр d та коефіцієнт шорсткості l. Додавши до цього рівняння (1.2) та (1.6), отримаємо систему трьох рівнянь, розв’язуючи яку маємо можливість визначити невідому величину.

Рівняння (1.2) представимо у вигляді .

Рівняння (1.6) у випадку нових сталевих труб набуває вигляду (див. додаток А)

.

Розв’яжемо отриману систему трьох рівнянь методом послідовних наближень.

Визначимо суму коефіцієнтів місцевих опорів:

.

Підставляючи чисельні значення окремих опорів, отримаємо:

.

У цьому випадку коефіцієнт входу до трубопроводу приймаємо , на відміну від випадків розглянутих раніше [6, 7].

У першому наближенні задаємося значенням швидкості.

Нехай V₁ = 1, 0 м/с (в даному випадку індекс 1 – номер ітерації).

При заданій витраті швидкості 1 м/с відповідає діаметр

м.

За відомими швидкістю та діаметром визначаємо коефіцієнт тертя трубопроводу.

.

Далі за рівнянням (2.8) визначаємо швидкість в трубопроводі

м/с.

Визначаємо діаметр, який відповідає швидкості .

м.

Розрахунок ведемо доти, доки різниця між діаметрами у даній та попередній ітераціях складатиме менш ніж 5 %, тобто буде виконуватись умова .

Порівнюємо значення діаметра у першій та другій ітераціях: . Оскільки наведена вище умова не виконується ведемо розрахунок далі.

Для нових значень швидкості та діаметра визначаємо коефіцієнт тертя трубопроводу:

та визначаємо нові значення швидкості та діаметра:

м/с.

Визначаємо діаметр, який відповідає швидкості .

м.

Виконуємо перевірку: .

Остаточно приймаємо діаметр найближчий більший за сортаментом до останнього діаметру, визначеного розрахунками.

Відповідь: Приймаємо діаметр d = 0, 200 м.

2.4 Побудова п’єзометричної лінії та лінії повного напору. Визначення витрати (пропускної здатності трубопроводу)

Приклад 4 Визначити пропускну здатність трубопроводу. Для трубопроводу побудувати п’єзометричну лінії та лінію повного напору.

Дано: Відмітки z_А = 30 м, z_В =22 м, z_Т =28 м; довжини ділянок трубопроводу ℓ ₁ = 10 м, ℓ ₂ =8 м; діаметри d₁ = 100 мм, d₂ = 125 мм; труби сталеві нові; коефіцієнти опорів: засувки x_з = 1, 3, коліна x_к= 0, 5, сітки x_сіт = 4, 5. Тиски на вільних поверхнях у баках складають: , .

Схема трубопроводу наведена на рисунку 2.7.

Рисунок 2.7

Розв’язання: Для розв’язання задачі використовуємо рівняння Бернуллі (1.1). Для його застосування розрахункові перерізи розташовуємо по вільних поверхнях рідини у баках, а площину порівняння сполучаємо з нижче розташованим перерізом 2–2 (рис. 2.8).

Тоді відмітки перерізів складатимуть , z₂ = 0. Абсолютний (або повний) тиск у перерізі 1–1, оскільки на вільній поверхні бака А за умовами задачі є вакуум, складатиме ; тиск у перерізі 2–2 складатиме . Зважаючи на те, що площі перерізів 1–1 та 2–2 досить великі (порівняно з площиною поперечного перерізу трубопроводу), середні швидкості в них малі, тобто швидкісними напорами у перерізах можна знехтувати.

Рисунок 2.8

Запишемо параметри перерізів у вигляді таблиці:

1–1	2–2
	z2 = 0

Підставивши параметри перерізів до рівняння Бернуллі, отримаємо:

.

Якщо скоротити праву та ліву частини на величину , дістанемо:

. (2.9)

Оскільки трубопровід, що розглядається, має дві ділянки з різними діаметрами, а відповідно й швидкостями, загальна формула для визначення втрат напору між перерізами, на відміну від залежності (2.2), буде мати вигляд:

, (2.10)

де , – швидкості у трубопроводах з діаметрами d₁ та d₂ відповідно; , – коефіцієнти тертя для ділянок трубопроводу з діаметрами d₁ та d₂ відповідно; , – довжини ділянок трубопроводу з діаметрами d₁ та d₂ відповідно; та – суми коефіцієнтів місцевих опорів, що розташовані на ділянці трубопроводу з діаметром d₁ та d₂ відповідно.

Для розрахункової схеми, що наведена на рисунку 2.7, втрати напору складатимуть:

(2.11)

де – коефіцієнт опору раптового розширення труби. Оскільки цей опір віднесено до швидкості у широкій трубі, формула для розрахунку має вигляд

.

Значення коефіцієнта раптового розширення становитиме:

,

– коефіцієнт опору виходу з труби, оскільки витікання відбувається під рівень; – довжина вертикальної ділянки трубопроводу, м.

Підставимо вираз (2.11) у вираз (2.9) та виразимо швидкість руху потоку по трубопроводу з діаметром :

(2.12)

З рівняння нерозривності . дістанемо

або . (2.13)

Тому у рівнянні (2.12) суму коефіцієнтів опорів, віднесених до швидкості , у разі винесені їх у ліву частину множимо на .

У рівнянні (2.12) три невідомих величини: , та .

За умовами задачі труби сталеві нові, тому коефіцієнти опору визначаємо за залежністю:

. (2.14)

Значення швидкості в залежності (2.14) маємо можливість визначити з залежності (2.13):

. (2.15)

Залежності (2.12) – (2.15) представляють собою систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими.

Розв’яжемо отриману систему рівнянь методом послідовних наближень.

У першому наближенні задаємося значенням швидкості .

Приймемо м/с.

За залежністю (2.13) м/с.

Далі за залежностями (2.14) та (2.15) визначимо відповідні коефіцієнти шорсткості.

.

.

За відомими значеннями коефіцієнтів тертя маємо можливість розрахувати значення швидкості за залежністю (2.12):

Оскільки розходження між прийнятим та розрахованим значеннями швидкостей складає

,

що перевищує припустимі межі – 2 %, тому потрібно визначити наступний розрахунок швидкостей руху на ділянках трубопроводу, тобто виконати наступну ітерацію за формулою (2.12), попередньо розрахувавши коефіцієнти тертя на ділянках за формулами (2.14) та (2.15).

Значення швидкості на першій ділянці відповідне значенню :

м/с.

.

.

За відомими значеннями коефіцієнтів тертя маємо можливість розрахувати значення швидкості за залежністю (2.12):

Розходження між розрахованим в останній та попередній ітераціями значеннями швидкостей складає

,

тобто значення менше припустимого – 2%. Таким чином приймаємо для подальших розрахунків швидкість на ділянці трубопроводу з діаметром d₂, .

Тоді швидкість на ділянці трубопроводу з діаметром d₁ відповідно становить:

м/с.

Витрата води, яка перетікає з одного бака до іншого по трубопроводу, за формулою (1.2) складатиме:

м³/с, або 11, 6 л/с.

Для побудови п’єзометричної лінії та лінії повного напору потрібно визначити втрати напору в окремих вузлах та на ділянках трубопроводу.

Номери та розташування вузлів показано на рисунку 2.9. Вузли суміщаємо з місцевими опорами.

Рисунок 2.9

Втрати напору в окремих вузлах розраховуємо за залежністю (1.4), на ділянках – за залежністю (1.5).

Розрахунок втрат напору представимо у вигляді таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 – Розрахунок втрат напору на розрахункових ділянках та у вузлах

Номери вузлів та ділянок	Коефіцієнти, що характеризують опори	Швидкість до якої віднесена втрата напору, м	Формула	Втрати напору, м
а				0, 501
а – б			0, 324
б			0, 145
б – в			0, 098
в				0, 014
в – г			0, 084
г			0, 023
г – д			0, 074
д			0, 023
д – е			0, 042
е			0, 046
	Сумарні втрати			1, 374

Виконуємо перевірку – сумарні втрати напору повинні співпадати з різницею повних напорів у початковому та кінцевому перерізах (1–1 та 2–2 відповідно):

.

Умову виконано – отримані значення втрат напору можна використовувати для побудови лінії повного напору.

Зазвичай представляють інтерес значення надлишкового напору – напір обумовлений атмосферним тиском не враховується, тобто повний напір, значення якого відкладаються на графічному зображені, складає .

Побудова ліній напору виконується таким чином. Спочатку наноситься зображення розрахункової схеми у масштабі (вертикальний та горизонтальний масштаби можуть бути різні). Під схемою в табличній формі вказуються вузли, відстані між ними – довжини розрахункових ділянок, значення втрат напору у відповідних вузлах та на ділянках, значення повних та п’єзометричних напорів.

Що стосується вертикальної шкали напорів/відміток, слід зазначити таке: у масштабі виконано лише ту частину, яка міститься у проміжку між мінімальним максимальним значеннями напорів потоку (24, 5 м … 26, 0 м) – діапазон в межах якого поступово зменшується питома енергія потоку. Частину трубопроводу, яка опинилась за межами зазначених значень виконано без масштабу – схематично, це зроблено для того, щоб повніше використати простір схеми для позначення саме ліній напорів повного та п’єзометричного.

П’єзометричну лінії та лінію повного напору слід зображують сумісно з схемою системи – в даному випадку – трубопроводу, в цьому випадку можемо бачити значення напорів у будь-якому перерізі системи – трубопроводу.

П’єзометрична лінія та лінія повного напору для прикладу задачі, що була розв’язана зображені на рисунку 2.10.

Оскільки у розрахункових перерізах 1-1 та 2-2 швидкості прийняті рівні нулю, то значення повного та п’єзометричного напорів в точка а та е будуть співпадати й складуть відповідно

для вузла а:

для вузла е:

Рисунок 2.10

Побудову починають з лінії повного напору. Якщо під час побудови лінії напору рухатись в напрямку руху води, то значення напору у наступній точці отримаємо шляхом віднімання від попереднього значення втрат напору. Навпроти вузлів на схемі вказано по два значення напорів – перед вузлом та після. Вважаємо, що геометричні розміри місцевих опорів незначні, тому втрати напору у вузлах, якими позначені ці опори, відбуваються на ділянці, що мають " нульову" довжину, тобто змінення напору мають вигляд вертикальних відрізків. Оскільки у прикладі, що розглянуто, є вертикальна ділянка трубопроводу (розташована між вузлами г та д), то на ній втрати напору також мають вигляд вертикального відрізка, на відміну від інших ділянок, на яких втрати напору по довжині розподілені рівномірно по всій довжині. На схемі значення втрати напору, що вказано навпроти вертикальної ділянки трубопроводу – це є сума втрат напору у вузлах г та д, що обмежують ділянку, та втрата напору на самій ділянці. Також на схемі умовно позначено довжина вертикальної ділянки (розмір ), що була визначена у попередніх розрахунках.

Після побудови лінії повного напору будують п’єзометричну лінію по значеннях п’єзометричних відміток, які отримують шляхом віднімання від відміток повного напору у відповідних точках значення швидкісного напору.

На схемі у якості приклада вказані втрати напору на сітці та на першій ділянці між вузлами а та б.