Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Частные производные сложной функции






    Пусть в области задана функция двух переменных:

    , (6)

    у которой переменные и в свою очередь являются функциями переменных и :

    , (7)

    заданными в области .

    Тогда является сложной функцией независимых переменных и с промежуточными переменными и :

    . (8)

    Рассмотрим задачу нахождения частных производных этой сложной функции без использования явной записи (8).

    Пусть точка , и функции и , согласно уравнениям (7), переводят ее в точку :

    .

    Теорема. Пусть выполняются три условия:

    1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке .

    2. В точке существуют частные производные .

    3. Функции непрерывны в точке .

    Тогда в точке существуют частные производные сложной функции , и для них справедливы формулы:

    (9)

    ,

    или в другой записи:

    .

     

    Доказательство. Проведем его для частной производной . Придадим переменной в точке приращение ; оно вызовет частные приращения промежуточных переменных , которые в свою очередь вызовут частное приращение сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):

    ,

    откуда, деля на , получаем:

    . (10)

    Здесь — постоянные величины для фиксированной точки . Далее, в силу непрерывности функций (условие 3):

    , ,

    а тогда и величины в представлении (10) также стремятся к нулю.

    Переходя в равенстве (10) к пределу при , получаем на основании свойств предела и условия 2:

    ,

    и далее,

    .

    Замечание. Аналогичные формулы имеют место для функций большего числа переменных. Например, в ситуации:

    ,

    и

    , , , ,

    имеем:

     

     

     

    Пример. Пусть

    ;

    .

    Тогда

    ;

    далее,

    Поэтому

    ;

    .

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.