Определение области факторного пространства.

Область факторного пространства определяет границы варьирования факторов в ходе эксперимента. Область факторного пространства определяется исходя из теоретических или каких-либо дополнительных соображений. При этом должны учитываться следующие ограничения на выбор границ области определения факторов:

1) максимально или минимально допустимые значения факторов. Например, температура не может быть ниже температуры абсолютного нуля.

2) технико-экономические ограничения. Например, стоимость сырья, дефицитность компаний, время проведения эксперимента.

3) технические или технологические условия процесса.

Определив область факторного пространства необходимо определить подобласть внутри которой будет проведено планирование эксперимента. Этот этап включает выбор основного уровня фактора и выбор интервала варьирования факторов.

Основным (или нулевым) уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Сочетание основных уровней всех факторов принимают за исходную точку для построения плана эксперимента, т.е. за центр плана.

Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно центра плана. Для этого выбирают интервал варьирования факторов.

Интервал варьирования факторов – это некоторое число (для каждого фактора свое) прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание нижний уровень фактора. Интервал варьирования не может быть выбран меньше ошибки измерения данного фактора и не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни выходили за пределы области определения фактора.

Для облегчения обработки результатов экспериментальных исследований факторы нормализуют. Например:

, где

– верхний уровень фактора,

– основной уровень фактора,

– интервал варьирования фактора,

– значения нормализованного фактора на нижнем уровне.

Таким образом, нормализованные факторы принимают значение 1 на верхнем уровне и -1 на нижнем уровне. Для определения параметров линейной модели достаточно в опыте каждый фактор фиксировать на одном из двух уровне – верхнем и нижнем.

Построение планов ПФЭ.

Эксперимент, в котором используются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Когда число уровней каждого фактора равно 2, то число опытов ПФЭ N будет равно: 2^k, где k – число факторов.

План проведения эксперимента и его результаты записывают в виде таблицы, которую называют матрицей планирования. Если результаты эксперимента в таблицу не записывают, то такая таблица, содержащая только уровни факторов, называется факторным планом. Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо «+1» и «-1» пишут «+» и «-».

Пример факторного плана для k = 2

№ опыта
	+	-	-
	+	+	+
	-	-	+
	-	+	-

Пример матрицы планирования для k = 2

№ опыта
	+	+
	+	-
	-	+
	-	-

Для линейной модели:

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой.

Построение полного факторного плана можно дать геометрическую интерпретацию. На рисунке представлена область определения факторов и . Изобразим (т. О) в области определения факторов основной уровень и проведем через него новые оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов. Затем, выберем масштабы по новым осям так, чтобы интервал варьирования по ним натурализованных факторов равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром которого является основной уровень (т. О), а каждая сторона параллельна одной из осей координат и равна двум интервалам варьирования. Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь внутри квадрата 1-2-3-4 называют областью эксперимента. В задачах интерполяции область эксперимента есть область предсказываемых значений отклика.

Наиболее простым способом построения ФП при любом числе факторов является метод последовательного достраивания полного факторного плана. Он заключается в том, что для построения полного факторного плана при факторах повторяют дважды план для факторов, сначала при нижнем уровне -ого фактора, а затем при его верхнем уровне.