Краткие теоретические сведения. Если в задаче нелинейного программирования несколько (более двух ) переменных и имеются ограничения

Если в задаче нелинейного программирования несколько (более двух) переменных и имеются ограничения, заданные в форме равенств, то речь уже идет не о поиске безусловного, а условного оптимума. Такие задачи могут быть решены методом неопределенных множителей Лагранжа

Пусть задана задача математического программирования: максимизировать (минимизировать) функцию

Z = f (x_1, x_2, …, x_n) (2.15)

при ограничениях

g(x₁, x₂, …, x_n) = b_i, . (2.16)

Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.

Будем полагать, что функции z и g_i являются непрерывными вместе со своими первыми производными.

Введем набор переменных λ ₁, λ ₂,...λ _m, называемых множителями Лагранжа и составим функцию Лагранжа:

F(x₁, x₂, …x_n, λ ₁, λ ₂,...λ _m)=f(x₁, x₂, …x_n) + (2.17)

Определим частные производные:

;

и рассмотрим систему (n + m) алгебраических уравнений

(2.18)

с (n + m) неизвестными x₁, x₂, …x_n, λ ₁, λ ₂,...λ _m.

Любое решение системы (8) определяет точку х = (x*₁, x*₂, …, x*_n) в которой может иметь место экстремум функции f (x₁, x₂, …x_n).

Следовательно, решив систему (4), можно получить все точки, в которых функция (5) может иметь экстремальные значения.

При этом неизвестен способ опре­деления точек глобального минимума или максимума. Даль­нейшее исследование полученных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума, т.е. если для функции (1) существуют вторые частные производные и они непрерывны, то можно вывести достаточное условие су­ществования локального экстремума функции в точке, яв­ляющейся решением системы (4). Однако практическое значение этого условия невелико.

Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, так как система уравнений (4), как правило, имеет несколь­ко решений.