Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоретические сведения. Для двух игроков А и В задана платежная матрица




Для двух игроков А и В задана платежная матрица

 

    Стратегии игрока B
B1 B2 B3 B4 B5
Стратегии игрока A A1 -2 -1
A2 -1 -2
A3 -1
A4 -1
A5 -1 -1 -1

 

Игрок А использует логику, которая гарантирует ему максимальный выигрыш вне зависимости от поведения игрока В.

Определяются минимальные элементы каждой строки, что соответствует минимальным выигрышам игрока А при каждой стратегии и среди них, находится максимальное число, равное -1.

Таким образом, свой выбор, игрок А остановит на стратегии A3, которая обеспечит ему выигрыш -1, т.е. потерю не более 1 ден.ед.

Значение равное -1, называется нижней ценой игры.

 

    Стратегии игрока B Минимальный элемент в строке
B1 B2 B3 B4 B5
Стратегии игрока A A1 -2 -1 -2
A2 -1 -2 -2
A3 -1 -1
A4 -1 -1
A5 -1 -1 -1 -1

 

 

Игрок В использует логику, которая гарантирует ему минимальный проигрыш вне зависимости от поведения игрока А.

Определяются максимальные элементы каждого столбца, что соответствует максимальным проигрышам игрока В при каждой стратегии и среди них, находится минимальное число, равное 1.

Свой выбор, игрок В остановит на стратегии В3, которая обеспечит ему проигрыш 1, т.е. потерю не более 1 ден.ед.

Значение равное 1, называется верхней ценой игры.

 

    Стратегии игрока B Минимальный элемент в строке
B1 B2 B3 B4 B5
Стратегии игрока A A1 -2 -1 -2
A2 -1 -2 -2
A3 -1 -1
A4 -1 -1
A5 -1 -1 -1 -1
Максимальный элемент в столбце    

 

Если верхняя цена игры равна нижней цене игры (седловая точка), то было бы найдено решение, которое устраивает обоих игроков, исходя из их логики. В рассматриваемом примере, если игроки пользуются только чистыми стратегиями, оптимальное решение не найдено. Но, всегда есть решение в смешанных стратегиях.

Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий A1 , A2 , A3 , A4 , A5 c вероятностями p1 , p2 , p3 , p4 , p5 .

Смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор




P = ( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ) ,

 

где p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1; p1 , p2 , p3 , p4 , p5 0.

 

Смешанной стратегией игрока B называется применение чистых стратегий B1 , B2 , B3 , B4 , B5 c вероятностями q1 , q2 , q3 , q4 , q5 .

Смешанную стратегию второго игрока обозначают как вектор


Q = ( q1 , q2 , q3 , q4 , q5 ) ,

 

где q1 + q2 + q3 + q4 + q5 = 1 и q1 , q2 , q3 , q4 , q5 0

 

Оптимальное решение игры (или просто - решение игры) - это пара оптимальных смешанных стратегий

 

P* ( p*1 , p*2 , p*3 , p*4 , p*5 ) и Q* ( q*1 , q*2 , q*3 , q*4 , q*5 ),

 

Таким образом, если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому невыгодно отступать от своей стратегии.

Выигрыш игрока А равный проигрышу игрока В, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v.

Цена игры больше либо равна нижней цены игры и меньше или равна верхней цены игры, т.е. -1 v 1.

Исходную платежную матрицу можно уменьшить, если исключить из нее стратегии, которыми заведомо не выгодно пользоваться игрокам.

 

    Стратегии игрока B
B1 B2 B3 B4 B5
Стратегии игрока A A1 -2 -1
A2 -1 -2
A3 -1
A4 -1
A5 -1 -1 -1

 

1. Стратегия A4 является доминирующей над стратегией A1 , т.к. каждый элемент строки 4 больше или равен соответствующего элемента строки.

Игроку А заведомо не выгодно пользоваться стратегией A1. Удаляем стратегию A1 из рассмотрения.



 

    Стратегии игрока B
B1 B2 B3 B4 B5
Стратегии игрока A A2 -1 -2
A3 -1
A4 -1
A5 -1 -1 -1

 

2. Стратегия A3 является доминирующей над стратегией A5 , поэтому удаляем стратегию A5 из рассмотрения.

 

    Стратегии игрока B
B1 B2 B3 B4 B5
Стратегии игрока A A2 -1 -2
A3 -1
A4 -1

3. Стратегия B4 является доминирующей над стратегией B5. Удаляется стратегия B5 из рассмотрения.

 

    Стратегии игрока B
B1 B3 B4
Стратегии игрока A A2 -1 -2
A3 -1
A4 -1

 

4. Игроку А заведомо не выгодно пользоваться стратегией A2. Удаляется стратегия A2 из рассмотрения.

 

    Стратегии игрока B
B1 B3 B4
Стратегии игрока A A3 -1
A4 -1

 

После преобразований платежной матрицы, оптимальное решение будем искать в виде :

 

P* = ( 0 , 0 , p*3 , p*4 , 0 ) ,

Q* = ( q*1 , 0 , q*3 , q*4 , 0 ).

 

В задаче, значение цены игры определяется неравенством -1 v 1. В дальнейшем, потребуется, чтобы цена игры была положительной, для этого воспользуемся следующей теоремой.

Если к каждому элементу платежной матрицы прибавить положительное число, то цена игры увеличится на это число, при этом оптимальное решение игры не изменится. Если все элементы матрицы больше или равны нулю, то и цена игры будет положительной.

Таким образом, необходимо ко всем элементам матрицы прибавить число, равное по модулю наименьшему элементу матрицы.

Прибавим 1 к каждому элементу матрицы. Тогда, цена исходной игры v = v1 -1, где v1 - цена игры новой матрицы.

 

    Стратегии игрока B
B1 B3 B4
Стратегии игрока A A3
A4

 

Если P* = ( 0 , 0 , p*3 , p*4 , 0 ) и Q* = ( q*1 , 0 , q*3 , q*4 , 0 ) являются оптимальным решением, то должны выполняться две следующие системы неравенств :

 

8 p*3 v1

2 p*3 + p*4 v1

4 p*4 v1

 

и

 

8 q*1 + 2 q*3 v1

q*3 + 4 q*4 v1

 

 

 

Рассмотрим первую систему.

Разделим все члены системы на цену игры v1. Знаки в неравенствах системы не изменятся, так как цена игры положительная.

Введем новые обозначения:

 

y1 = p*3 / v1 , y2 = p*4 / v1

 

Рассмотрим сумму:

 

y1 + y2 = p*3 / v1 + p*4 / v1 = 1/v1 * ( p*3 + p*4 ) = 1/v1,

 

где ( p*3 + p*4 )=1 (сумма вероятностей используемых стратегий равна единице).

Игрок A старается увеличить свой выигрыш, т.е. цену игры v1, поэтому выражение 1/v1 будет стремиться к минимуму. Таким образом, из первой системы будет получена задача линейного программирования.

Требуется найти минимум линейной функции

 

F = y1 + y2

 

при следующей системе ограничений:

 

8 y1 1

2 y1 + y2 1

4 y2 1

 

Рассмотрим вторую систему.

Разделим все члены системы на цену игры v1. Знаки в неравенствах системы не изменятся, так как цена игры положительная.

Введем новые обозначения:

x1 = q*1 / v1 , x2 = q*3 / v1 , x3 = q*4 / v1

 

Рассмотрим сумму:

 

x1 + x2 + x3 = q*1 / v1 + q*3 / v1 + q*4 / v1 = 1/v1 * ( q*1 + q*3 + q*4 ) = 1/v1

 

Игрок B старается уменьшить свой проигрыш, т.е. цену игры v1, поэтому выражение 1/v1 будет стремиться к максимуму. Таким образом, из первой системы будет получена задача линейного программирования.

Требуется найти максимум линейной функции

 

L = x1 + x2 + x3

 

при следующей системе ограничений :

 

8 x1 + 2 x2 1

x2 + 4 x3 1

 

Полученные задачи являются парой симметричных взаимно двойственных задач.

Если решить одну из этих задач, то автоматически будет получено решение второй.

Для решения воспользуемся симплекс-методом, реализованного в виде надстройки Excel Поиск решений (лабораторная работа 3).

В книге Поиск решений на странице Таблица с формулами последовательно внести данные первой и второй систем и найти решение. Предварительно изменить формат ячеек для переменных и целевой функции на числовой с двумя знаками после запятой.

Решение для первой задачи

 

y1 = 0,38; y2 = 0,25; F = 0,63.

 

Решение для второй задачи

 

х1 = 0; х2 = 0,5; х3 = 0,13; L = 0,63.

 

Максимальное значение функции прямой задачи равно минимальному значению функции двойственной задачи.

Найдем цену игры v1.

 

v1 = 1 / F = 1 / L = 1/0,63 = 1,6

 

Так как к каждому элементу матрицы мы прибавили 1, следовательно, цена исходной игры равна:

 

v = v1 - 1 = 1,6 - 1 = 0,6.

 

Теперь можно найти оптимальное решение игры.

Вероятности стратегий игрока А.

p*1 = 0;

p*2 = 0;

p*3 = y1 * v1 = 0,38 * 1,6 = 0,6;

p*4 = y2 * v1 = 0,25 * 1,6 = 0,4;

p*5 = 0;

 

P* = ( 0; 0; 0,6; 0,4; 0 );

Цена игры v = 0,6.

 

Вероятности стратегий игрока В.

q*1 = x1 * v1 = 0 * 1,6 = 0;

q*2 = 0;

q*3 = x2 * v1 = 0,5 * 1,6 = 0,8;

q*4 = x3 * v1 = 0,13 * 1,6 = 0,2;

q*5 = 0.

 

Q* = ( 0; 0; 0,8; 0,2; 0 )

Цена игры v = 0,6.

 

Анализ результата решения задачи.

 

Выигрыш игрока А составит 3/5 денежных единиц, а проигрыш игрока В составит ту же сумму (игра с нулевой суммой).

Игрок А использует свои стратегии следующим образом:

- A1 на 0 %

- A2 на 0 %

- A3 на 60 %

- A4 на 40 %

- A5 на 0 %

Игрок B использует свои стратегии следующим образом:

- B1 на 0 %

- B2 на 0 %

- B3 на 80 %

- B4 на 20 %

- B5 на 0 %

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.018 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал