Дискретный Марковский процесс.

Рассматриваемые процессы, обладают определенным свойством и представляют собой базу вероятностных моделей специального вида. Они названы Марковскими по имени впервые их исследовавшего математика А.А. Маркова.

Напомним для начала некоторые понятия. Случайным процессом или синонимически случайной функцией S(t), где t – время, называется функция, которая каждому моменту времени t из временного промежутка проводимого опыта ставит в соответствие единственную случайную величину S(t).

Значит аргументом случайной функции является время, а ее значением – случайная величина. Таким образом, случайная величина характеризует изменение случайной величины в процессе опыта.

Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества.

Связи между элементами системы в одну или обе стороны могут быть как непосредственными, так и опосредованными. Элементы системы и связи между ними изменяются, вообще говоря, во времени и характеризуют в каждый момент времени t состояние S(t) системы S.

Если система S с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе S протекает случайный процесс. В любой момент времени система пребывает только в одном из состояний, то есть для любого момента времени t найдется единственное состояние S_i такое, что S(t) = S_i. Если множество состояний не более чем счетно, то оно дискретно. Если множество состояний более чем счетно, то оно непрерывно. [3]

В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с дискретным временем. Системы с непрерывным временем предполагают, что переход системы из одного состояния в другое может осуществляться в любой момент времени, т.е. время пребывания системы в каждом состоянии представляет непрерывную случайную величину.

В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком (мгновенно). В случае же непрерывного множества состояний переход системы происходит непрерывно (плавно). Процесс, заключающийся в том, что система с дискретным множеством состояний в некоторые моменты времени скачком переходит случайным образом из одного состояния в другое, называется дискретным случайным процессом.

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется Марковским, если он обладает свойством отсутствия последствия, состоящим в том, что для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t> t₀) зависит только от ее состояния S(t₀) в настоящем (при t=t₀) и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (при t> t₀).

В финансово экономической практике нередко встречаются случайные процессы, которые с определенной погрешностью можно считать Марковскими.

При исследовании непрерывных и дискретных случайных цепей обычно пользуются графическим представлением функционирования системы. Граф состояний системы представляет собой совокупность вершин, изображающих возможные состояния системы S_i, и совокупность ветвей, изображающих возможные переходы системы из одного состояния в другое. [4]