Пуассоновский стационарный (простейший) поток событий.

При изучении дискретных случайных процессов с непрерывным временем в экономической практике полезным оказывается рассмотрение так называемых «потоков событий». Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

События в потоке называются однородными, если их различают только по моментам их наступления, и неоднородными – в противном случае, то есть если различимость событий в потоке помимо моментов их наступления осуществляется еще по каким-нибудь их свойствам.

Поток называется регулярным, если события в нем наступают последовательно через строго определенные промежутки времени.

Поток называется потоком без последствия (или потоком без памяти), если для любой пары непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой.

Поток событий называется ординарным, если вероятность наступления за элементарный (малый) промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени не более одного события. Ординарность потока означает, что события в нем за достаточно малый промежуток времени либо не наступили, либо наступают по одному, а не по несколько.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, то есть не изменяются с течением времени.

Поток событий, обладающий свойствами отсутствия последствий и ординарности, называется пуассоновским. Стационарный пуассоновский поток называется простейшим. Среднее число событий потока наступающих в единицу времени, называется интенсивностью или средней плотностью потока. Интенсивность простейшего потока не изменяется с течением времени .[4]

Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина , представляющая собой число событий, наступающих за промежуток времени . Пусть - вероятность того, что за промежуток времени в потоке наступят точно m событий: , его математическое ожидание и дисперсия равны , а среднее квадратическое отклонение равно .

Другой важной характеристикой является непрерывная случайная величина T - промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока. Аналитические выражения основных характеристик случайной величины T даются в следующей теореме. В простейшем потоке с интенсивностью для случайной величины T:

1) Интегральная функция распределения , то есть вероятность события , состоящего в том, что промежуток времени T между двумя любыми соседними событиями будет меньше t, равна .

2) Дифференциальная функция распределения (или плотность распределения) равна .

3) Математическое ожидание равно .

4) Дисперсия .

5) Среднее квадратическое отклонение .[1]