Застосування похідної

Задача 5.6.1. У правильну чотирикутну піраміду з ребром основи і висотою вписана правильна чотирикутна призма так, що її нижня основа лежить всередині основи піраміди, а вершини верхньої основи – на бічних ребрах піраміди. Знайдіть найбільшу площу бічної поверхні таких призм.

Розв’язання. Нехай правильна чотирикутна призма вписана в піраміду так, як показано на рисунку 30. Нехай сторона основи призми дорівнює , а її висота .З подібності трикутників та отримуємо , а з подібності трикутників та випливає співвідношення . З пропорції знаходимо . Оскільки площа бічної поверхні призми дорівнює , то маємо .

Одержаний квадратний відносно тричлен з від’ємним старшим коефіцієнтом досягає свого найбільшого значення в точці . При цьому максимальна площа бічної поверхні буде .

Задача 5.6.2. Навколо правильної трикутної призми з об’ємом описаний циліндр. Знайдіть найменшу площу повної поверхні таких циліндрів.

Розв’язання. Нехай висота призми , сторона основи , радіус кола, описаного навколо основи (рис. 31). Оскільки радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює , то, відповідно до умови, , звідки . Тоді площа поверхні циліндра . Розглянемо функцію , . Оскільки її похідна перетворюється в 0 при і у цій точці функціяприймає, як легко встановити, найменше значення, то є найменшим значенням площі поверхні циліндра.

У деяких випадках для знаходження найбільшого і найменшого значення при розв’язанні геометричних задач не завжди зрозуміло, в яких межах змінюється значення величини, яка нас цікавить. Тоді зручно цю величину виразити через інші величини.

Задача 5.6.3. Плоска фігура складається з прямокутника і рівностороннього трикутника. Визначити її розміри так, щоб при даному периметрі площа була найбільшою (у величину периметра не враховується спільна сторона прямокутника і трикутника).

Розв’язання. Нехай – сторона трикутника, – сторона прямокутника (рис. 32). Тоді периметр , звідки .Очевидно, що площа всієї фігури буде

= =

= .

Значення , при якому площа буде найбільшою, визначаємо за допомогою похідної у виді . Тоді . Це і є розміри фігури, при яких при заданому периметрі площа буде найбільшою.

Задача 5.6.4. Який із всіх рівнобедрених трикутників, вписаних у дане півколо так, щоб одна із рівних сторін лежала на діаметрі, а друга була б хордою, має найбільшу основу?

Розв’язання. Нехай шуканим є трикутник і , , (рис. 33), - радіус заданого півкола з діаметром .Проведемо . Нехай . Тоді і . Тепер знаходимо, що . З прямокутного трикутника отримуємо , а із рівнобедреного трикутника за теоремою косинусів маємо .

Розглянемо функцію , визначену на інтервалі . Оскільки її похідна перетворюється в 0 при і у цій точці приймає найбільше значення, то знайдене значення є шуканим та вказує, як побудувати трикутник.