Застосування векторів

Інколи обґрунтування нерівності для відстаней зручно проводити, використовуючи вектори. При цьому може застосовуватися векторний аналог нерівності трикутника: . У задачах, зв’язаних з центром ваги трикутника, використовується рівність , де - точка перетину медіан, - вершини трикутника.

Задача 5.2.1. На площині задано два відрізки і . Довести, що довжина відрізка, що сполучає їх середини, не більша за півсуму відрізків та .

Доведення. Нехай точки та - середини відрізків і відповідно (рис. 23). Очевидно, що виконуються векторні рівності та . Додаючи їх, отримуємо рівність , з якої, переходячи до довжин векторів, дістаємо , що доводить висловлене в умові твердження. Знак рівності можливий при умові , тобто, коли заданий чотирикутник є трапецією або паралелограмом.

Задача 5.2.2. У чотирикутнику кут тупий, - середина сторони . Довести, що .

Доведення. Нехай точка є серединою відрізка . Очевидно, що точка розташована всередині кола з діаметром , тому ( - центр кола). Оскільки , як середня лінія трикутника , то , що потрібно було довести.

Задача 5.2.3. На площині задані два трикутники та . Нехай та - точки перетину їхніх медіан. Довести, що .

Доведення. Очевидно, що виконуються векторні рівності ,

,

.

Додаючи їх, отримуємо , звідки випливає нерівність, яку ми доводимо.

Задача 5.2.4. У піраміді вершину сполучили з точкою - центром ваги трикутника . Довести, що .

Доведення. Очевидно, що виконуються векторні рівності , , . Додаючи їх та враховуючи, що , отримуємо співвідношення , з якого випливає задана нерівність. Знак рівності у ній неможливий, оскільки вектори не колінеарні, тому .