Оцінка площі

Нам відомо, що площа трикутника не перевищує половини добутку довільних двох його сторін, а площа опуклого чотирикутника - половини добутку його діагоналей. Ці факти ефективно можна використовувати при розв’язуванні окремих задач. Наведемо приклади.

Задача 5.3.1. Нехай - довжини сторін опуклого чотирикутника. Довести, що його площа не перевищує .

Розв’язання. Проведемо діагональ чотирикутника так, щоб по одну сторону від неї були сторони з довжинами . Симетризуємо ці сторони відносно серединного перпендикуляра до проведеної діагоналі (рис. 24). Утвориться новий чотирикутник тієї ж площі, що заданий, та з довжинами послідовних сторін . Провівши у ньому другу діагональ, отримаємо два трикутники, площі яких не перевищують та .

Задача 5.3.2. Периметр опуклого чотирикутника дорівнює 4. Довести, що його площа не перевищує 1.

Розв’язання. Позначимо сторони чотирикутника через , а його площу через . Тоді . З попередньої задачі маємо . Легко бачити, що виконується також нерівність . Тоді

.

Цим самим фактично доведено, що з усіх опуклих чотирикутників із фіксованим периметром найбільшу площу має квадрат.

Задача 5.3.3. Довжини двох сторін трикутника та задовольняють умову , а довжини відповідних їм висот дорівнюють та . Довести нерівність та встановити, коли досягається рівність.

Доведення. Площа трикутника АВС дорівнює , звідки . Крім цього , звідки і , звідки . Перетворимо нерівність, яку ми доводимо, наступним чином:

.

Очевидно, що, відповідно до умови задачі, одержаний вираз не може бути від’ємним. Легко бачити, що рівність досягається при , тобто у випадку, коли трикутник прямокутний.