Определители. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n.

Определителем или детерминантом n -го порядка матрицы А называется число

,

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.

Обозначения определителя: , det A, или в полной записи:

.

Таким образом, по определению

(1.3)

В соответствии с доказанным утверждением 1.1, в правой части формулы (1.3) n! слагаемых, причем n! / 2 слагаемых со знаком «+» и n! /2 со знаком «–», так как если
– четная перестановка, то , а если – нечетная, то . При этом каждое из слагаемых является произведением n чисел, которые расположены в разных строках и разных столбцах матрицы.

Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.

При n = 2 перестановок вторых индексов будет 2! = 2, одна четная – (12) и одна нечетная (21), следовательно:

(1.4)

При n = 3 перестановок вторых индексов – 3! = 6. Четные: (123) (0 инверсий), (231) (2 инверсии), (312) (2 инверсии). Нечетные: (321) (3 инверсии), (132) (1 инверсия). (213) (1 инверсия). Следовательно:

(1.5)

Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом слагаемом полезно запомнить следующее мнемоническое правило.