Системы линейных уравнений. Формулы Крамера

Система m уравнений с n неизвестными х ₁, х ₂,..., х_n вида:

(1.11)

называется системой линейных уравнений.

Если b ₁ = b ₂ =... = b_m = 0, то система называется однородной, и неоднородной в противном случае.

Набор чисел называется решением системы, если при подстановке этих чисел в уравнения системы (1.11) вместо неизвестных все уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Если существует хотя бы одно решение системы, то она называется совместной, и несовместной, если решений нет.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Коэффициенты при неизвестных a_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) образуют матрицу , которая называется матрицей системы.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Преобразования, переводящие систему в эквивалентную ей, называются эквивалентными.

Многие методы решения систем основываются на эквивалентных преобразованиях с целью получения систем более простого вида. Перечислим основные эквивалентные преобразования:

а) перестановка двух уравнений в системе;

б) умножение уравнения на число, не равное нулю;

в) прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число ;

г) перестановка слагаемых в левых частях уравнений.

При исследовании и решении систем линейных уравнений возникают следующие основные задачи:

· определить, совместна ли данная система;

· в случае совместности системы определить число решений;

· указать способ, с помощью которого можно найти все решения.

Рассмотрим, прежде всего, частный случай системы (1.11), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, т.е. m = n. В этом случае матрица системы А является квадратной порядка n и ответ на все поставленные вопросы дает следующая теорема.