Метод подстановки

В основе метода интегрирования подстановкой лежит следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть функции и определены на не­которых промежутках и имеет смысл сложная функция ; если функция имеет первообразную , а функция дифферен­цируема, то функция также имеет первообразную и

. (9)

Доказательство.

Поскольку функция определена на том же промежутке, что и функция , то сложная функция также имеет смысл. По правилу дифференцирования сложной функ­ции получаем

.

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем исходное выражение (9).

Выражение (9) также может быть записано в виде

(10)

или

. (11)

Пример 7. В качестве примера вычислим еще раз интеграл . Воспользуемся заменой переменных . Тогда . Подставляя данные значения в рассматриваемый интеграл, имеем

Вычислим интеграл методом непосредственного интегрирования. представим дифференциал в виде . Тогда

.

Учитывая также

,

получим выражение для искомого интеграла

.

Обязательным этапом является возврат к старым переменным. Из равенства следует и

.

Тогда

.