Основные свойства неопределенного интеграла

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

План

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
2. Метод непосредственного интегрирования.
3. Метод интегрирования по частям.
4. Метод подстановки.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа. Т.1, 1981 и 1988.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – М.: Наука. Т. 1, 1988

3. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. – М.: Просвещение. Т.1, 1972.

4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Седнов Б.Х Математический анализ. – М.: Наука. 1979 и 1985.

5. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. – М.: Просвещение. 1988.

6. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука. Т.1, 1981.

7. Задачник по курсу математического анализа / Под редакцией Н.Я. Виленкина /- М.: Просвещение. Т. 1, 1971.

8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1977.

9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, с 1962 по 1985 г.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов

Опр. Пусть функция определена на некото­ром конечном или бесконечном промежутке числовой оси (на отрезке, интер­вале или полуинтервале). Функция , определенная на , называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если для каждого выполняется равенство

. (1)

Если функция является первообразной функцией от на про­межутке , для функции , где – некоторая постоянная, выполняется равенство

, (2)

и она также является первообразной функции на .

Опр. Будем называть совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке , неопределен­ным интегралом от функции на промежутке и обозначать его в виде

. (3)

Значение данного интеграла соответственно равно

, (4)

где – некоторая первообразная функции на .

Легко видеть, что под знаком интеграла стоит диффе­ренциал любой из первообразных функции :

, . (5)

Использование под знаком интеграла не самой функции , а ее произведения на диф­ференциал делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например, интегралы от функции , взятые по различным переменным оказываются разными

, .

В первом случае функция рассматривается как функ­ция от переменной , во втором – как функция от переменной .

Основные свойства неопределенного интеграла

Будем предполагать, что все рассматриваемые функции определены на одном и том же промежутке.

1. .

Справедливость этого равенства вытекает из определения не­определенного интеграла как совокупности всех функций, диффе­ренциал которых стоит под знаком интеграла и общего вида всех первообразных данной функции.

2. .

В данной формуле под понимается любая первообразная функции . Справедливость этой формулы также очевидна в силу (4).

3. Если функции и имеют первообразные, то и функция также имеет первообразную, причем

. (6)

Доказательство.

Пусть , . Тогда , . Введем новую функцию , производная которой оказывается равна

,

т.е. функция является первообразной для :

.

Таким образом, левая часть равенства (6) состоит из функций вида , а правая – из функций вида . Ввиду произвольности постоянных , и эти совокупности сов­падают.

4. Если функция имеет первообразную и – постоянная, то и функция также имеет первообразную, причем при справедливо равенство

. (7)

Доказательство.

Пусть или , тогда . Поэтому левая часть равенства (7) представляет собой совокупность функций вида , а правая является совокупностью функций вида . Ввиду произвольности постоянных и и условия , обе совокупности совпадают.

Таблица интегралов

1. , , .

2. , .

3.

В частности, .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. . 11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции (операция интегрирования), является обратной по отношению к дифференцированию. Поэтому всякая формула для вычисления производных , может быть обращена:

.

По этой причине справедливость записанной таблицы интегралов проверяется непосредственным дифференцированием.