Постановка задачи. Найти решение линейного дифференциального уравнения

Найти решение линейного дифференциального уравнения

, , (6.1)

удовлетворяющего краевым условиям:

(6.2)

К такому виду задач сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.

Теорема. Пусть . Тогда существует единственное решение поставленной задачи.

Решение будем отыскивать методом конечных разностей.

Основные этапы метода конечных разностей:

1. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами: .

2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т.е. . Функция называется сеточной.

3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.