Метод простой итерации

Для метода простой итерации (МПИ) уравнение (1.1) необходимо сначала преобразовать к виду . Это всегда можно сделать с помощью эквивалентных преобразований. Далее, выберем начальное приближение . Следующие итерации производятся по формуле: , т.е. , , и т.д. Если последовательность , сходится, то , то есть в пределе получаем искомое решение уравнения. Итерационный процесс следует остановить, когда . В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка : .

Привести исходное уравнение (1.1) к виду можно бесконечным числом способов. Из всевозможных функций j (x) выбирают ту, которая порождает сходящуюся к корню последовательность .

Достаточное условие сходимости. Пусть имеет производную на отрезке , и для всех из отрезка . Тогда итерационный процесс сходится к корню уравнения, т.е. .

Доказательство. Из формулы МПИ следует, что

Применяя теорему Лагранжа о среднем, получим

.

Аналогично

, и т.д.

Следовательно,

Так как , то и, следовательно, .

Геометрическая интерпретация метода простой итерации представлена на рис. 1.4 для случаев (а), (б), (в) и (г).

Рис. 1.4.Сходящийся (а, б) и расходящийся (в, г) МПИ