Указания к задаче 1. Перед решением задачи 1 изучите раздел «кинематический анализ механизмов» и в частности «кинематический анализ рычажных механизмов методом планов скоростей и

Перед решением задачи 1 изучите раздел «кинематический анализ механизмов» и в частности «кинематический анализ рычажных механизмов методом планов скоростей и ускорений» [1, с. 82…95, 2, с. 35…43]. Этот метод базируется на представлении структуры плоских механизмов по Ассуру. Поэтому обязательным является предварительное изучение раздела «структура механизмов» и, в частности, параграфа «группы Ассура» (они же структурные группы) [1, с. 28…31, 2, с. 53…66, 5, с. 68…71].

Решение задачи 1 начинают с вычерчивания схемы рычажного механизма в масштабе. Все построения (схему механизма, планы скоростей и ускорений) рекомендуется выполнять на отдельном листе миллиметровой бумаги формата А3 или А4, который затем вклеивают в контрольную работу. Далее механизм раскладывают на группы Ассура. Разложение начинают с выделения начальной системы – стойки с кривошипом АВ. Оставшаяся группа звеньев 2, 3 является группой Ассура. Такие группы относят ко второму классу. Разложение на группы Ассура необходимо потому, что они, обладая определённостью положения относительно мест присоединения, являются кинематически определимыми системами. Кинематическая определимость означает, что при известных скоростях и ускорениях мест присоединения группы, всегда можно определить скорости и ускорения точек внутри группы Ассура. Эти величины определяют графическим решением векторных уравнений, составленных на основании разложения движения каждого из звеньев группы на переносное и относительное. Переносным (переносящим) считается движение подвижной системы координат (ПСК) относительно неподвижной, связанной со стойкой. ПСК вводится в механизм искусственно. После разложения движения уравнения скоростей и ускорений выглядят так:

где – искомая абсолютная скорость и абсолютное ускорение переносимой точки; – скорость и ускорение той точки ПСК, которая в данный момент совпадает с переносимой точкой; – скорость и ускорение переносимой точки относительно ПСК; – ускорение Кориолиса. Его модуль

, (5)

где – угловая скорость ПСК. Напомним правило определения направления ускорения Кориолиса – оно определяется поворотом вектора относительной скорости на 90˚ в сторону угловой скорости переносного движения (рис. 8, а).

Необходимо также вспомнить некоторые сведения из теоретической механики для вращательного движения (см. рис. 8, б) независимо от того, какое оно – абсолютное, переносное или относительное: 1) скорость перпендикулярна АВ и направлена в сторону угловой скорости ω; 2) ускорение перпендикулярно АВ и направлено в сторону углового ускорения ε; 3) ускорение направлено к центру вращения.

Для того чтобы векторные уравнения решались, разложение движения выполняют, руководствуясь следующим правилом: движение переносимого звена относительно ПСК должно быть простейшим – поступательным или вращательным. В общем случае, когда места присоединения обоих звеньев группы Ассура подвижны, раскладывают движение каждого из её звеньев. В частных случаях достаточно разложения движения одного звена. Во всех вариантах задачи 1 вам встретятся только частные случаи. В табл. 1 приведены все модификации групп Ассура второго класса и рассмотрены различные варианты присоединения этих групп к начальному механизму. Здесь же показано разложение движения и записаны векторные уравнения для определения скоростей и ускорений точек внутри групп Ассура.

В случаях 1, 3, 4 (табл.1) в уравнениях отсутствует ускорение Кориолиса. Это объясняется тем, что переносное движение здесь поступательное. При поступательном движении и, следовательно, по формуле (5) .

Таблица 1

Группы Ассура и векторные уравнения

№	Группа Ассура	Разложение абсолютного движения…	Скорости и ускорения
		звена 2 на поступательное с Bxy и вращательное относит. Bxy.
		звена 3 на плоско-парал. с x2y2 и поступательное. относит. x2y2.
2a		звена 2 на поступ. с Bxy и вращат. относит. Bxy, а также на вращательное с x3y3 и поступат. относит. x3y3.
		звена 2 на поступательное. с Bxy и вращательное относит. Bxy.
3а		звена 2 на вращательное с x1y1 и поступательное относит. x1y1.
		звена 3 на поступательное с x2y2 и поступат. относит. x2y2.
		звена 2 на вращательное с x1y1 и поступат. относит. x1y1.

Приведённые в табл. 1 пояснения по разложению абсолютного движения помогут в определении направлений и линий действия векторов, входящих в уравнения. Именно с этого начинается их графическое решение – построение планов скоростей и ускорений.

П р и м е р. Для кулисного механизма, изображённого на рис. 9, а, дано: l_AB, l_BC, , , φ ₁, ω ₁, ε ₁. S₁ и S₂ – центры масс звеньев. Схема вычерчена в положении, заданном углом φ ₁, в произвольно выбранном масштабе (масштабный коэффициент схемы μ _l, м/мм). Требуется определить: ,, , , , ω ₂, ω ₃,

, , , , , ε ₂, ε ₃.

Согласно рекомендациям, изложенным выше, разложим механизм на группы Ассура. Для этого выделим начальную систему, состоящую из стойки 0 и кривошипа 1 (рис. 9, б). Остаётся двухповодковая группа Ассура, состоящая из звеньев 2 и 3 (рис. 9, в).

Определим скорости в начальной системе:

1) скорость точки В

, м/с; (6)

она направлена перпендикулярно АВ в сторону ω ₁ (см. рис. 8, б);

2) скорость точки S₁ равна половине v_B и направлена в ту же сторону.

Далее переходим к группе Ассура. По табл. 1 выбираем соответствующий вариант присоединения структурной группы к стойке начальной системы. Для нашей задачи – это вариант 2а. Записываем соответствующее уравнение из табл.1 (пояснения по разложению движений см. в той же таблице):

, (7)

где – скорость точки D₂ относительно стойки; – скорость точки D₂ относительно ПСК Bxy.

Скорости в уравнении (7), для большей наглядности, дополняем обозначением направлений их линий действия, а также подчёркиваниями – одной чертой, если известно только направление линии действия вектора, двумя чертами, если известен ещё и модуль вектора. Такие дополнения позволяют быстро оценить разрешимость векторного уравнения. Так в уравнении (7) крайние векторы подчёркнуты одной чертой (их модули неизвестны), следовательно, это уравнение разрешимо (при трёх и более неизвестных уравнение не решается). Решаем его графически – строим план скоростей рядом с кинематической схемой механизма (рис. 10, а). С этой целью из произвольно выбранного полюса р (рис. 10, б) откладываем произвольной длины вектор pb перпендикулярно АВ. Вычисляем масштабный коэффициент будущего плана скоростей:

, м·с^-1/мм.

Согласно уравнению (7), из конца вектора pb, проводим линию, перпендикулярную DВ, а из полюса р – линию, параллельную DВ. Получаем точку пересечения этих линий d₂. Векторы pd₂ и bd₂ выражают скорости и , соответственно. Модули этих векторов вычисляем по формуле:

, (8)

где – выраженная в миллиметрах длина отрезка, изображающего скорость v_i. Например , м/с. Скорости точек C, S₂ определяем по теореме подобия, так как скорости двух точек кулисы 2 найдены. Для этого достаточно на линии bd₂ плана скоростей найти положение точек c и s₂ такое, какое они занимают на кулисе. Из пропорции выведем . Точки B, D, C лежат на одной прямой. При движении из точки B в D точка C встречается после D. Таким же должно быть взаимное положение точек b, d₂, с на плане скоростей. На этом основании найдём положение точки c. Длины отрезков DC и BD снимают со схемы механизма.

Центр масс кулисы S₂ находится на середине отрезка BC. Поэтому, разделив отрезок bc на плане скоростей пополам, найдём положение

точки s₂. Проведя из точки р векторы pc и ps₂ получим скорости и , соответственно. Модули скоростей вычисляют по формуле (8). На этом план скоростей можно считать построенным.

После определения линейных скоростей перейдём к угловым скоростям звеньев. Угловая скорость кулисы

, с^–1.

Судя по уравнению (7), вектор направлен от точки b к точке d₂. Переносом вектора в точку D₂ (рис. 10, а) найдём, что он стремится повернуть кулису вокруг точки В против часовой стрелки, туда же направлена и скорость ω ₂.

Кулиса 2 и кулисный камень 3 соединены между собой поступательной кинематической парой, поэтому ω ₃ = ω ₂. Причём, как по величине, так и по направлению.

На этом определение линейных и угловых скоростей закончено. Перейдём к ускорениям. Последовательность определения ускорений та же, что и скоростей.

Ускорение точки В кривошипа (рис. 9, б, см. также рис. 8, б)

, (9)

где – нормальная составляющая, – тангенциальная.

, м/с², , м/с². направлено от В к А, – перпендикулярно АВ и направлено в сторону ε ₁.

Полное ускорение точки В найдём графически (рис. 10, г). Для этого из полюса π проведём произвольной длины отрезок π n₁, изображающий . По формуле , м·с^-2/мм, вычислим масштабный коэффициент будущего плана ускорений. Вычислим длину отрезка n₁b, изображающего ускорение : , мм. Отложим n₁b из точки n₁. Соединив полюс π с точкой b, получим вектор π b, изображающий . Численное значение ускорения точки В найдём по формуле: , м/с². Таким образом, модуль и направление ускорения найдено.

Ускорение центра масс S₁ кривошипа найдём по теореме подобия. Для этого отметим, что начало и конец ускорения точки А находится в полюсе. Точка S₁ расположена на середине АВ. Такое же положение должна занимать точка s₁ по отношению к аb. Проведя вектор из π в s₁, получим ускорение . Как видно по рисунку, , м/с².

Определим ускорения в группе Ассура 2, 3. Начнём с точки D₂. Как видно по табл. 1 (строка 2а)

, (10)

где и – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения точки D₂ относительно системы Bxy; – ускорение точки D звена 3 (эта точка неподвижна); и – относительное и кориолисово ускорение точки D₂ относительно системы x₃y₃.

Вычислим и : , м/с²; , м/с² (). Укажем снизу уравнений, как сориентированы векторы относительно звеньев. Направление ускорения Кориолиса определим с помощью рис. 10, в. После вычислений остаются неизвестными , и . Последнее неизвестно ни по величине, ни по направлению. С учётом этого имеем два уравнения с четырьмя неизвестными, из чего следует, что система (10) разрешима.

Графическое решение этой системы (рис. 10, г) заключается в построении из единой точки (полюса π) цепочек векторов, стоящих в правой части уравнений. Вектор прибавляют последним. Точка пересечения линий действия последних слагаемых даёт решение. На этом основании из конца вектора π b проведём вектор bn₂ = , мм, изображающий ускорение . А из полученной точки n₂ проведём линию действия вектора . Цепочка векторов второго уравнения начинается в полюсе π вектором π k длиной , мм. Из полученной точки k проведём линию действия относительного ускорения . На пересечении линий действия векторов и получим точку d₂. Соединив полюс π с точкой d₂, получим ускорение точки D₂. Численное значение этого ускорения вычислим по формуле: , м/с². Аналогично найдём: , м/с²; , м/с².

Ускорения точек C и S₂ определим по теореме подобия. Она применяется также как при определении скоростей (см. выше).

Кинематический анализ закончим определением угловых ускорений звеньев. Угловое ускорение кулисы 2 , с^-2. Направление ε ₂ определим переносом вектора n₂d₂, выражающего ускорение , в точку D₂. Этот вектор стремится повернуть звено 2 вокруг точки В против часовой стрелки. Так же направлено и ε ₂. Угловое ускорение ε ₃ кулисного камня 3, как и угловая скорость, равно угловому ускорению ε ₂.

На этом решение задачи 1 закончено.