Закон полного тока. Уравнение Максвелла для потока вектора В через замкнутую поверхность.

Силовые линии вектора магнитной индукции для магнитных полей создаваемых любыми встречающимися в природе источниками всегда замкнуты (в отличие от линий напряженности электростатического поля, которые начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных). Это фундаментальное свойство магнитного поля нашло свое выражение в уравнении Максвелла для потока вектора В через замкнутую поверхность:

, (1.13)

т.е. число входящих в некоторый объем, ограниченный замкнутой поверхностью, линий вектора В всегда равно числу выходящих. Таким образом, магнитное поле не имеет источников – магнитных зарядов (в том смысле, в каком электрические заряды являются источниками электрического поля).

Другое важное свойство магнитного поля может быть получено из рассмотрения циркуляции вектора В вокруг бесконечно длинного прямого проводника с током по окружности радиуса b вдоль силовых линий вектора В. Для циркуляции имеем:

Обобщая, можно доказать, что циркуляция вектора В по произвольному контуру L равна произведению m₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром L (закон полного тока):

(1.14)

При вычислении суммы, токи, связанные с направлением обхода контура правилом правого винта, считаются положительными.

Закон полного тока в некоторых случаях (при наличии специальной симметрии системы токов) позволяет просто рассчитать величину магнитного поля.

Пример 4: Поле внутри бесконечно длинного (идеального) соленоида с током I.

Рассмотрим участок соленоида длиной l, на которой умещается N витков провода. Из физических соображений можно показать, что магнитное поле существует только внутри соленоида, причем оно однородно и силовые линии поля параллельны оси соленоида. Применив теорему о циркуляции В для показанного на рис. контура получим:

,

откуда находим

В=m₀× I× N/l. (1.15)

Несмотря на то, что данное выражение получено для идеального соленоида, оно оказывается достаточно точным для магнитных полей внутри реальных достаточно длинных и тонких соленоидов.

Найдем также магнитное поле тороида, который представляет собой тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Выберем контур интегрирования L в формуле (1.10) в виде окружности радиуса r, центр которой совпадает с центром тороида. В силу симметрии вектор В в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру L, а модуль В постоянен. Тогда, , где В – магнитная индукция в тех точках, где проходит контур.

Если контур проходит внутри тороида, то он охватывает ток равный 2π RnI (R – радиус тороида, n- число витков на единицу его длины, I – ток в каждом витке). В этом случае , откуда . Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает и следовательно магнитная индукция вне тороида равна нулю.