Решение

Поскольку шары расположены далеко друг от друга, то их можно считать уединенными. В этом случае их энергию можно определить по формулам (48):

,

.

Емкость шара в вакууме определяется формулой

.

Следовательно, энергии шаров до их соединения равны

,

.

При соединении шаров проволокой они становятся единым проводником, потенциал которого, после установления равновесного распределения зарядов, во всех точках системы одинаков. При этом общий заряд сохраняется. Будем обозначать величины в конечном состоянии звездочкой. Тогда система уравнений для определения конечного потенциала и далее конечной энергии системы будет иметь вид:

,

,

,

.

Решая систему, получим .

Энергия, которая выделится к моменту установления равновесного состояния, равна разности начальной и конечной электрической энергии системы:

.

Тема. ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные понятия и соотношения

Электрический ток представляет собой направленное движение электрических зарядов. Носителями заряда в металлах являются валентные электроны, потерявшие связь со своими атомами в процессе образования кристаллической решетки. Принято считать, что направление тока определяется по направлению движения положительных носителей. Поэтому направление тока противоположно направлению движения электронов.

Понятие силы тока вводится для характеристики направленного движения зарядов в тонком проводнике. В общем случае в электрической схеме можно выделить точки, в которых сходятся не менее трех проводников. Такие точки называют узлами. Введем произвольно положительное направление на участке одного из проводов, соединяющего два соседних узла. Построим теперь функцию по следующему правилу: значение равно разности величины зарядов, прошедших через поперечное сечение проводника в положительном и отрицательном направлениях за время . Сила тока определяется как производная функции :

Если > 0, то заряды движутся в положительном направлении, если < 0 - в отрицательном. Единица силы тока ампер: 1А = 1Кл/с.

Если в проводнике имеется ток, то потенциал электрического поля в различных точках проводника не одинаков. Потенциал уменьшается в направлении движения положительных зарядов.

Для поддержания постоянного тока, т.е. движения электронов с постоянной средней скоростью, необходимо непрерывное действие на них силы. А это значит, что электроны в проводниках движутся с трением, или, иначе говоря, что проводники обладают электрическим сопротивлением.

Если состояние проводника остается неизменным (не меняется его температура и т.д.), то для каждого проводника или участка цепи, состоящего из нескольких проводников, существует однозначная зависимость между разностью потенциалов на концах участка и силой тока в нем. Она выражается законом Ома для участка цепи, не содержащего источников тока

.

Коэффициент называется общим сопротивлением участка цепи и определяется по следующим формулам:

при последовательном соединении резисторов (участков цепи, обладающих заметным сопротивлением)

,

при параллельном соединении резисторов

.

Сопротивление проводника зависит от его формы и вещества, из которого он изготовлен. Для проводника цилиндрической формы постоянного поперечного сечения

,

где - длина проводника, - площадь поперечного сечения проводника, - удельное сопротивление вещества.

Чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые сюда током заряды (предполагается, что они положительные), а к концу с большим потенциалом их непрерывно подводить. Это означает, что в замкнутом контуре наряду с участками, на которых положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала, должны иметься участки, на которых перенос этих зарядов происходит в направлении возрастания потенциала, т.е. против сил электростатического поля. Перемещение носителей тока на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектростатического происхождения, называемых сторонними силами.

Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают при перемещении по цепи заряда. Величина, равная отношению работы сторонних сил на некотором участке цепи 1-2, к тому заряду , над которым эта работа совершена, называется электродвижущей силой (э.д.с.) на данном участке:

.

В общем случае, при перемещении заряда по участку цепи 1-2, над ним совершают работу как силы электростатической природы, так и сторонние. Величина , равная отношению этой суммарной работы к заряду , над которым она совершена, называется падением напряжения или просто напряжением на данном участке цепи 1-2:

.

Используя связь разности потенциалов с работой электростатических сил и э.д.с. с работой сторонних сил, получаем формулу для напряжения в виде

.

Для участка цепи 1-2, содержащего источник э.д.с., закон Ома имеет вид

.

Если участок цепи замкнут, то точки 1 и 2 соединены, и, следовательно, имеют равные потенциалы. В этом случае закон Ома приобретает вид

.

Если внешнее сопротивление замкнутой цепи равно нулю, то в ней протекает ток короткого замыкания:

,

где - внутреннее сопротивление источника тока.

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если пользоваться правилами, сформулированными Кирхгофом.

Первое правило относится к узлам электрической цепи. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

При этом ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (плюс или минус), а ток текущий от узла - другой.

Второе правило относится к любому, мысленно выделенному в разветвленной цепи, замкнутому контуру.

При обходе контура алгебраическая сумма напряжений на каждом его неразветвленном участке равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в контуре:

.

При составлении уравнений направление обхода контура выбирается произвольно. Ток считается положительным, если его направление, также выбранное произвольно, совпадает с направлением обхода контура, отрицательным, если не совпадает. Э.д.с. берут положительной, если она действует на положительные носители тока в направлении обхода, и берут отрицательной, если - наоборот.

Поскольку общая работа электростатических и сторонних сил на участке цепи 1-2 равна

,

то для мощности, развиваемой током на этом участке, получим

.

Эта мощность может расходоваться на совершение работы над внешними телами (при этом проводник должен перемещаться в пространстве), на протекание химических реакций и, наконец, на нагревание данного проводника.

В последнем случае, после установления теплового равновесия нагреваемого током проводника с окружающей средой, работа тока будет равна количеству выделяемого проводником тепла:

.

Соотношение называется законом Джоуля-Ленца.

Если сила тока изменяется со временем, то количество тепла определяется по формуле

.

Из закона Ома для замкнутой цепи получаем

,

где - сила тока, - внешнее сопротивление, - внутреннее сопротивление источника тока. Умножив левую и правую части на , получим

,

где - полная мощность источника ; - полезная мощность , которая выделяется на внешнем сопротивлении; - мощность потерь , которая выделяется на внутреннем сопротивлении источника тока.

Выразив, с помощью закона Ома, полезную мощность через сопротивление

,

и исследовав эту функцию на максимум, можно показать, что наибольшая полезная мощность выделяется при равенстве внешнего сопротивления внутреннему: .

Отношение полезной мощности к полной мощности , развиваемой источником тока, называется коэффициентом полезного действия (КПД) этого источника: .

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ ЗАДАЧ

ЗАДАЧИ

· 301. Два одинаковых положительных заряда находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определите напряженность электростатического поля: а) в точке O, находящейся на середине отрезка, соединяющего заряды; б) в точке A, расположенной на расстоянии от каждого заряда.

· 302. Отрицательный заряд и положительный закреплены на расстоянии друг от друга. Где на линии, соединяющей заряды, следует поместить положительный заряд , чтобы он находился в равновесии?

· 303. Расстояние между двумя точечными зарядами и равно . Найдите напряженность электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии от положительного заряда и на от отрицательного.

· 304. В вершинах квадрата со стороной находятся одинаковые заряды . Какой заряд необходимо поместить в центре квадрата, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

	· 305. В вершинах равностороннего треугольника со стороной помещены заряды .Найдите напряженность электростатического поля в точке B, расположенной на середине стороны треугольника.
	· 306. Заряды и находятся на расстоянии . Определите напряженность электростатического поля в точке A, лежащей на перпендикуляре к линии, соединяющей заряды, и удаленной от на расстояние .

· 307. Два равных по величине заряда расположены в вершинах острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника на расстоянии . Определите, с какой силой оба заряда действуют на третий заряд , находящийся в вершине прямого угла треугольника. Рассмотрите случаи, когда первые два заряда: а) одноименные; б) разноименные. Ответ поясните рисунками.

· 308. Три одинаковых положительных заряда величиной каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной . Какой отрицательный заряд надо поместить в центре треугольника, чтобы система из четырех зарядов находилась в равновесии?

· 309. Два шарика массой каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити равна . Какие одинаковые заряды необходимо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол ?

· 310. Три одинаковых заряда величиной каждый расположены в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего катеты: и . Найдите напряженность электростатического поля, создаваемого всеми зарядами в точке пересечения гипотенузы с перпендикуляром, опущенным на нее из вершины прямого угла.

· 311. На бесконечной вертикально расположенной плоскости равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью . К плоскости на нити подвешен шарик массой . Определите заряд шарика , если нить образует с плоскостью угол .

· 312. Параллельно бесконечной плоскости, заряженной с поверхностной плотностью заряда , расположена бесконечно длинная прямая нить, заряженная с линейной плотностью заряда . Определите силу , действующую со стороны плоскости на отрезок нити длиной .

· 313. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда ?

	· 314. Бесконечная прямая нить, равномерно заряженная с линейной плотностью заряда , и отрезок нити длиной , равномерно заряженный с линейной плотностью заряда , расположены в одной плоскости перпендикулярно друг другу на расстоянии . Определите силу взаимодействия между ними.
	· 315. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда , и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью заряда . На расстоянии от нити находится точечный заряд . Определите величину и направление силы, действующей на заряд, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.

· 316. Пластины плоского конденсатора площадью каждая притягиваются с силой . Пространство между пластинами заполнено диэлектриком с . Определите: a) модуль вектора электрического смещения ; б) заряд каждой пластины.

· 317. Электростатическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Протон, двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии от нити, до точки , изменил свою скорость от до . Найдите линейную плотность заряда нити . Масса протона .

· 318. Точечный заряд , находится в центре сферы радиусом , равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда . Найдите силу, действующую на заряд , который последовательно помещают сначала в точку , а затем в точку . Точка находится на расстоянии от центра сферы, а точка - на расстоянии . Изобразите графически зависимость , где - расстояние от центра сферы.

· 319. Между пластинами плоского воздушного конденсатора находится точечный заряд . Поле конденсатора действует на заряд с силой . Определите силу взаимного притяжения пластин, если площадь каждой пластины .

· 320. Точечный заряд находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом , равномерно заряженным с поверхностной плотностью заряда . Определите силу, действующую на заряд, если заряд находится на расстоянии от оси цилиндра.

	· 321. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом равномерно распределен заряд . Используя принцип суперпозиции, определите напряженность электростатического поля , создаваемого этим зарядом в центре кривизны дуги, если длина нити равна четверти длины окружности.
	· 322. По тонкому кольцу радиусом равномерно распределен заряд с линейной плотностью . Используя принцип суперпозиции, определите напряженность электростатического поля в точке , равноудаленной от всех точек кольца на расстояние .
	· 323. Тонкое полукольцо радиусом равномерно заряжено с линейной плотностью заряда . Используя принцип суперпозиции, определите напряженность электростатического поля в центре кривизны полукольца.

· 324. Заряд равномерно распределен по дуге окружности, радиус которой , а угол раствора . Используя принцип суперпозиции, определите напряженность электростатического поля в центре кривизны дуги.

· 325. По дуге, длина которой равна длины окружности радиусом , равномерно распределен заряд с линейной плотностью . Используя принцип суперпозиции, определите напряженность электростатического поля в центре кривизны дуги.

· 326. Тонкий стержень длиной заряжен с линейной плотностью заряда . Используя принцип суперпозиции, найдите напряженность электростатического поля в точке , которая удалена от конца стержня на расстояние перпендикулярно стержню.

· 327. Тонкое кольцо радиусом равномерно заряжено с линейной плотностью заряда . Используя принцип суперпозиции, найдите напряженность электростатического поля: а) в центре кольца; б) в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии от его центра.

· 328. На тонком полукольце радиусом равномерно распределен заряд . Используя принцип суперпозиции, определите силу, действующую на точечный заряд , расположенный в центре кривизны полукольца.

· 329. Тонкий стержень длиной равномерно заряжен с линейной плотностью заряда . Используя принцип суперпозиции, найдите напряженность электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии от стержня и равноудаленной от его концов. Как изменится напряженность поля, если: 1) 2) ?

· 330. Используя принцип суперпозиции, найдите напряженность электростатического поля , которое создают в точке параллельные равномерно заряженные с линейной плотностью заряда тонкие нити длиной . Точка находится в одной плоскости с нитями и удалена от каждой нити на расстояние .

· 331. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд . Заряд перемещается по линии напряженности поля на расстояние . При этом совершается работа . Найдите поверхностную плотность заряда на плоскости.

· 332. При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает - частица со скоростью . Найдите разность потенциалов электрического поля , в котором можно разогнать покоящуюся - частицу до такой скорости. (, ).

· 333. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью с линейной плотностью заряда . Какую скорость получит электрон под действием поля, приблизившись к нити с расстояния до расстояния ?

· 334. Поверхностная плотность заряда металлической сферы .Потенциал сферы на расстоянии от поверхности равен . Найдите радиус сферы.

· 335. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии от нити, до точки, находящейся на расстоянии от нити, - частица изменила свою скорость от до . Найдите линейную плотность заряда на нити. (, ).

· 336. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами , а расстояние между ними . Найдите скорость , с которой электрон приходит ко второй пластине, и поверхностную плотность зарядов на пластинах . (, ).

· 337. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает скорость . Расстояние между пластинами . Найдите разность потенциалов между пластинами и поверхностную плотность заряда на пластинах.

· 338. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии друг от друга. К пластинам приложена разность потенциалов . Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя вдоль линии напряженности расстояние ?

· 339. На тонком кольце радиусом равномерно распределен заряд . На оси кольца на расстоянии от центра находится точечный заряд . Какую работу необходимо совершить, чтобы удалить заряд на бесконечность?

· 340. В однородное электрическое поле напряженностью влетает (вдоль силовой линии) электрон со скоростью . Определите расстояние , которое пройдет электрон до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.

	· 341. Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть диэлектрик из плоского конденсатора, если напряжение на пластинах поддерживается постоянным и равным . Площадь пластин , расстояние между пластинами , а диэлектрическая проницаемость диэлектрика .
	· 342. Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть диэлектрик из плоского конденсатора, если заряд на пластинах поддерживается постоянным и равным . Площадь пластин , расстояние между пластинами , а диэлектрическая проницаемость диэлектрика .

· 343. Найдите работу , которую нужно затратить, чтобы увеличить расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора, заряженного разноименными зарядами , на величину . Площадь каждой из пластин конденсатора .

· 344. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами плоского вакуумного конденсатора с площадью пластин от расстояния до расстояния ? Напряжение между пластинами конденсатора постоянно и равно .

	· 345. Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть одну половинку диэлектрика из плоского конденсатора, если напряжение между пластинами поддерживается постоянным и равным . Площадь пластин , расстояние между пластинами , а диэлектрическая проницаемость диэлектрика .
	· 346. Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы вынуть одну половинку диэлектрика из плоского конденсатора, если заряд на пластинах поддерживается постоянным и равным . Площадь пластин , расстояние между пластинами , а диэлектрическая проницаемость диэлектрика .

· 347. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора , а расстояние между ними . Какая разность потенциалов была приложена к пластинам, если известно, что при разряде конденсатора выделилось тепла?

· 348. Плоский конденсатор, заполненный жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , зарядили, затратив на это энергию . Затем конденсатор отсоединили от источника, слили из него диэлектрик и разрядили. Определите энергию , которая выделилась при разрядке.

· 349. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом . После того как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика , если работа, которая была совершена против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик, .

· 350. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора , а расстояние между ними . К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов . Найдите изменение емкости конденсатора и изменение плотности энергии электрического поля при увеличении расстояния между пластинами до , если источник напряжения не отключается.

· 351. Обкладки конденсатора с неизвестной емкостью , заряженного до напряжения , соединяют с обкладками конденсатора емкостью , заряженного до напряжения . Определите емкость , если напряжение на конденсаторах после их соединения . Конденсаторы соединяются обкладками, имеющими: а) одноименные заряды; б) разноименные заряды.

· 352. Заряженный шар 1 радиусом приводится в соприкосновение с незаряженным шаром 2, радиус которого . После того как шары разъединили, заряд шара 2 оказался равным . Какой заряд был на шаре 1 до соприкосновения с шаром 2?

· 353. Конденсатор емкостью , заряженный до напряжения , соединяется с конденсатором емкостью , заряженным до напряжения параллельно (положительная обкладка с положительной, отрицательная с отрицательной). Какое напряжение установится между обкладками?

· 354. Конденсатор емкостью заряжен до напряжения . Определите заряд на обкладках этого конденсатора после того, как параллельно ему был подключен другой, не заряженный, конденсатор емкостью .

· 355. Конденсатор емкостью , предварительно заряженный до напряжения , подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкостью . Найдите приращение электрической энергии этой системы к моменту установления равновесия.

· 356. В плоский конденсатор вдвинули пластинку парафина толщиной , которая вплотную прилегает к пластинам конденсатора. Диэлектрическая проницаемость парафина . На сколько нужно увеличить расстояние между пластинами конденсатора, чтобы получить прежнюю емкость?

· 357. Два металлических шарика радиусами и имеют заряды и соответственно. Найдите энергию , которая выделится при разряде, если шары соединить проводником.

· 358. На плоский воздушный конденсатор с толщиной воздушного слоя подается напряжение . Будет ли пробит конденсатор, если предельная напряженность электрического поля в воздухе ?

· 359. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора , а расстояние между ними . Найдите изменение емкости конденсатора и изменение плотности энергии электрического поля при увеличении расстояния между пластинами до , если источник напряжения перед этим был отключен.

· 360. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: слой стекла толщиной и слой парафина толщиной . Разность потенциалов между обкладками . Найдите плотность энергии электрического поля в каждом слое ().

· 361. От батареи, э.д.с. которой , требуется передать энергию на расстояние . Потребляемая мощность . Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр подводящих медных проводов .

· 362. К батарее, э.д.с. которой и внутреннее сопротивление , присоединен проводник. Определить: 1) при каком сопротивлении проводника мощность, выделяемая на нем, максимальна? 2) как велика при этом мощность, выделяемая в проводнике?

· 363. Аккумулятор замыкают один раз таким сопротивлением, что сила тока равна , а второй раз таким сопротивлением, что сила тока равна . Определить э.д.с. аккумулятора, если мощность тока во внешней цепи в обоих случаях одинакова, а внутреннее сопротивление аккумулятора равно .

· 364. Э.д.с. батареи . Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, . Определить максимальную мощность , которая может выделяться во внешней цепи.

· 365. При внешнем сопротивлении сила тока в цепи равна , а при сопротивлении сила тока . Определите силу тока короткого замыкания источника э.д.с.

· 366. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления и .

· 367. От генератора, э.д.с. которого равна , требуется передать энергию на расстояние . Мощность нагрузки равна . Найти минимальное сечение медных подводящих проводов, если потери мощности в цепи не должны превышать от мощности нагрузки.

· 368. Э.д.с. батареи . При силе тока к.п.д. батареи равен . Определите внутреннее сопротивление батареи.

· 369. Потенциометр сопротивлением подключен к батарее с э.д.с. и внутренним сопротивлением . Определить: 1) показания вольтметра сопротивлением , соединенного с одной из клемм потенциометра (точка В) и подвижным контактом (точка А), установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре.

· 370. Сила тока в проводнике сопротивлением нарастает в течение времени по линейному закону от до . Определите теплоту , выделяющуюся в этом проводнике за первую секунду, и теплоту - за вторую, а также найдите отношение .

ОТВЕТЫ

301. а) Ео = 0; б) ЕА = 43× 105 В/м	302. х» 1, 72 g (от заряда q2);
303. Е = 1, 05× 105В/м;	304. Q = -
305. Ев =	306. ЕА = 6
307. F = 1, 9× 10-4 H;	308. q4 = 0, 58 q;
309. q1 = q2	310. Е = 246
311. q = 25× 10-9Кл	312. F =
313. F	314. F =
315. F	316. q =
317. t» 7, 4 × 10-6 Кл/м;	318. FA
319. F12	320. F
321. Е .	322. Е
323. Е =	324. Е
325. Е =	326.
327. а) Е = 0; б) Е =	328.
329. Е	330. ЕА
331.	332.
333.	334.
335.	336.
337.	338.
339.	340.
341.	342.
343.	344.
345.	346.
⇐ Предыдущая3456789101112