Лабораторная работа №3

Построение схем моделирования систем, описанных с помощью метода пространства состояний. Синтез модального регулятора

Цель работы: Изучение методики модального управления линейными динамическими объектами в пространстве состояний.

Теоретическая часть

Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых позволяет, при известном входе и известных уравнениях динамики, описать будущее состояние системы и значение ее выхода. Выбор переменных состояния неоднозначен.Метод пространства состояний достаточно универсален, его можно применять для нелинейных систем многомерных систем. Для начального знакомства с этим подходом ниже рассматриваются линейные одномерные системы (или SISO – SingleInputSingleOutput), уравнения состояний которых имеют следующий общий вид:

, (1)

где X (t) – вектор-столбец состояния [ n Ч 1]; А – матрица коэффициентов объекта [ n Ч n ]; В – матрица входа [ n Ч 1];

u (t) – сигнал управления; Y – вектор выхода [ k Ч 1]; С – матрица выхода [1 Ч n ];

D – матрица влияния входа непосредственно на выход системы [ n Ч 1] (часто полагают D = 0).

Уравнения состояния SISO-системы в развернутом виде:

Система, описываемая матрицами А и В, является управляемой, если существует такое неограниченное управление u (t), которое может перевести объект из начального состояния X (0) в любое другое состояние X (t).

Для SISO-системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости (размером n × n):

Если детерминант этой матрицы отличен от нуля, то система управляема. Модальный синтез предполагает формирование таких обратных связей по состоянию, при которых обеспечивается заданное расположение полюсов замкнутой системы. Модой называется составляющая решения дифференциального уравнения, соответствующая конкретному полюсу.

Расположение полюсов в основном определяет характер переходного процесса в системе. Обычно рассматриваются такие корневые оценкикачества переходного процесса, как время переходного процесса, степень устойчивости, колебательность и перерегулирование.

Для оценки быстродействия системы используется понятие степени устойчивости η, под которой понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (потому что корни, имеющие наименьшую по модулю вещественную часть, дают в переходном процессе наиболее медленнозатухающую составляющую). Время переходного процесса t п можно приближенно оценить по формуле:

Запас устойчивости системы оценивается колебательностью. Система имеет склонность к колебаниям, если характеристическое уравнение содержит комплексные корни η 1, 2 = – α ± j β.

Колебательность оценивается по формуле:

По значению колебательности можно оценить перерегулирование

Для объекта, заданного уравнениями состояния (1), управление по состоянию описывается выражением:

,

где К – вектор коэффициентов обратной связи. Таким образом, система, замкнутая регулятором, приводится к следующему виду:

Этому выражению соответствует рис. 1, где g(t) – задающее воздействие. Основная теорема модального управления гласит, что, если линейная динамическая система (1) является управляемой, то линейная обратная связь может быть выбрана таким образом, что матрица (А - ВK) будет иметь желаемое расположение корней (спектр). При доказательстве этой теоремы используется каноническая форма управляемости матриц A и B.

Рис.1 Система с обратной связью

Аккерманом была предложена формула, позволяющая с помощью преобразования подобия перевести модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, определить искомые коэффициенты К, а затем пересчитать полученное решение применительно к исходной структуре.

Формула Аккермана имеет вид:

,

где в i – коэффициенты характеристического полинома матрицы (А – ВK).

Таким образом, задача модального синтеза сводится к выбору желаемых корней характеристического полинома замкнутой системы, при которых обеспечиваются заданные параметры переходного процесса, после чего в соответствии со стандартным алгоритмом рассчитываются коэффициенты обратных связей по состоянию.

Модальный регулятор может быть найден только для управляемой САУ. То есть перед тем как определять модальный регулятор необходимо исследовать ее на управляемость.

Для системы, заданной уравнениями состояния и выхода (1), матрица управляемости составляется по правилу:

.

Если ранг матрицы управляемости равен порядку системы, то есть является максимальным, то САУ вполне управляема.

Если ранг матрицы управляемости не равен нулю, но не максимальный, то система не вполне управляема и только те переменные, которые входят в максимальный не равный нулю минор матрицы управляемости состояния, могут изменять состояние системы.

Если ранг матрицы управляемости равен нулю, то система не управляема и к ней нельзя подобрать регулятор.

В программном комплексе MatLab для формирования модели в пространстве состояний используется команда:

ss(система в ПФ);

Для выделения матриц A, B, C, D объекта управления нужно задать:

[A, B, C, D]=ssdata(система в пространстве состояний)

Формирование матрицы управляемости выполняется командой:

ctrb(система в пространстве состояний).

Команда вычисления ранга матрицы:

rank(матрица управляемости)

Задание

1) Для полученного варианта объекта управления, заданного матрицами А, В, С (табл.1), обосновать возможность модального управления с помощью критерия управляемости.

2) Рассчитать коэффициенты обратной связи, при которой обеспечивается желаемое расположение полюсов замкнутой системы. Рассмотреть два варианта – когда перерегулирование равно 30 и 0% (апериодический процесс).

3)С помощью выбора масштабирующего коэффициента обеспечить в системе нулевую установившуюся ошибку.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Цель работы

2. Порядок выполнения работы (пп. 1)-4))

3. Выводы

Пример выполнения задания

Пример 1: Задать исходную передаточную функцию:

» wi=tf([1 2 1], [3 2 1 1])

Получить описание объекта управления в пространстве состояний

» ws=ss(wi);

Выделить матрицы A, B, C, D объекта управления по заданной системе пространства состояний s1

» [A, B, C, D]=ssdata(ws)

Проверка объекта на полную управляемость и полную наблюдаемость

» y=ctrb(ws) % Формирование матрицы управляемости

Таблица 1. Модели в пространстве состояний

» rank(y) % Вычисление ранга матрицы управляемости

Заметим, что одной и той же ПФ могут, вообще говоря, соответствовать разные модели в пространстве состояний, но всем этим моделям соответствует одна и та же ПФ.

В пакете MatLab имеется функция acker, с помощью которой можно обеспечить желаемое расположение полюсов одномерной линейной системы (в соответствии с формулой Аккермана), предварительно задав желаемой расположение корней:

» p=[-0.7839; -0.0586+0.6495*i; -0.0586-0.6495*i];

»k = acker(A, B, p),

где А и В – матрицы системы; p – вектор, задающий желаемое расположение полюсов системы.

Пример 2. Пусть система описывается матрицами

Желаемые полюса заданы вектором:

Тогда рассчитать значение коэффициентов обратных связей можно с помощью команд

> > A=[0 1; 2 3];

> > B=[0; 1];

> > P=[1 3];

> > K=acker(A, B, P)

K =[1 7]

Таким образом, управление в этом примере должно быть сформировано в виде:

(2)

> > K=place(A, B, P)

Рассчитывает матрицу коэффициентов обратных связей K, которая обеспечивает желаемое расположение полюсов системы. Длина вектора P должна быть равна числу строк матрицы А. Следует заметить, что метод модального управления не гарантирует равенство установившейся ошибки нулю. Для обеспечения равенства задающего воздействия и выходного сигнала системы в установившемся режиме вводится масштабирующий коэффициент k₀.

Для его вычисления запишем уравнения состояния в виде:

подставляя уравнение (2), имеем:

(3)

В установившемся режиме получаем и должно выполняться условие

y = g.

Следовательно, из уравнения (3) получаем

k ₀ = 3

Контрольные вопросы

1. Как подбирается желаемое расположение корней?

2. Что такое модальное управления?

3. Как выполняется исследование системы на управляемость?

4. Как рассчитать масштабирующий коэффициент?

5. Как записать закон модального управления?