Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Для модальной логики Лукасевича характерно то, что в ней модальности являются функциями истинности.
|
|
Дадим определение модальных функций.
Определим возможность (M) с помощью равенств и таблицы:
М (а, b) = (a, Cbb)
1. М (1, 1) = (1, С11) = (1, 1) = 1
2. М (1, 0) = (1, С00) = (1, 1) = 1
3. М (0, 1) = (0, С11) = (0, 1) = 3
4. М (0, 0) = (0, С00) = (0, 1) = 3
В табличной форме возможность (М) будет иметь следующий вид:
| р | Мр |
Поскольку функтор М является исходным, то через него определяется функтор L:
Lp = Df NMNp
Дадим табличное определение Lp:
| p | Np | MNp | NMNp |
В данной системе доказуемые формулы при любых подстановках значений в пропозициональные переменные или подформулы принимают значение «1».
С помощью введенных определений модальных функторов попробуем верифицировать несколько формул: I) CLpp; II) CpMp; III) CМpp; IV) CpLp.
І) 1. CLpp = CL11 = C21 = 1
2. CLpp = CL22 = C22 = 1
3. CLpp = CL33 = C43 = 1
4. CLpp = CL44 = C44 = 1
II) 1. CpMp = C1M1 = C11 = 1
2. CpMp = C2M2 = C21 = 1
3. CpMp = C3M3 = C33 = 1
4. CpMp = C4M4 = C43 = 1
III) 1. CMpp = CM11 = C11 = 1
2. CMpp = CM22 = C12 = 2
3. CMpp = CM33 = C33 =1
4. CMpp = CM = 44 = C34 = 2
IV) 1. CpLp = C1L1 = C12 = 2
2. CpLp = C2L2 = C22 = 1
3. CpLp = C3L3 = C24 = 3
4. CpLp = C4L4 = C44 = 1
Таким образом, формулы I, II, являются доказуемыми, а III, IV – нет, а это означает в терминологии Лукасевича, что они должны быть отброшены.
Для модальности «возможность», кроме функтора (М), Лукасевич ввел еще один функтор (W). Этот функтор определяется равенством W (a, b) = (Caa, b).
1. W (a, b) = (C11, 1) = (1, 1) = 1
2. W (1, 0) = (C11, 0) = (1, 0) = 2
3. W (0, 1) = (C00, 1) = (1, 1) = 1
4. W (0, 0) = (C00, 0) = (1, 0) = 2
В табличном варианте:
| p | Wp |
| (1, 1) | |
| (1, 0) | |
| (0, 1) | |
| (0, 0) |
Несмотря на то, что функтор «W» отличается от функтора «М», он верифицирует формулы той же структуры, что и «М». То есть если принимается формула СрМр, то принимается и формула СрWp, а если отбрасывается формула СМрр, то отбрасывается и формула СWpp и т.д.Убедимся в этом:
І) CpWp
1. CpWp = C1W1 = C11 = 1
2. CpWp = C2W2 = C22 = 1
3. CpWp = C3W3 = C31 = 1
4. CpWp = C4W4 = C42 = 1
ІІ) CWpp
1. CWpp = CW11= C11 = 1
2. CWpp = CW22 =C22 = 1
3. CWpp = CW33 = C13 = 3
4. Cwpp = Cw44 = C24 = 3
Таким образом, формула (ІІ) должна быть отброшена. «W» и «М» представляють один и тот же функтор, поэтому обладают общими свойствами. Однако, несмотря на их тождественность, они ведут себя по-разному, когда оба входят в одну и ту же формулу.
Для иллюстрации сказанного докажем несколько формул:
І) MWp
| p | Wp | MWp |
ІІ) WMp
| p | Mp | WMp |
ІІІ) MMp
| p | Mp | MMp |
ІУ) WWp
| p | Wp | W Wp |
Из приведенных таблиц видно, что мы не можем заменитьв формулах (І) и (ІІ) М на W и W на М, поскольку получим отбрасываемые формулы.
Лукасевич обратил внимание на проблему случайных высказываний в логике Аристотеля. Кратко говоря, данная проблема сводится к ответу на вопрос: «Могут ли быть истинными некоторые случайные высказывания?».
Определим случайность как модальный функтор, обозначим его буквой «D».
СКМpМNpDp – читается так: «Если возможно, что «р» возможно, что «не-р», то случайно, что «р».
Из данного определения следует, что невозможно существование истинного случайного высказывания, поскольку не могут быть одновременно истинными высказывания Мр и MNp:
1. KMpMNp = KM1MN1 = K1M0 = K13 = 3
2. KMpMNp = KM2MN2 = K1M3 = K13 = 3
3. KMpMNp = KM3MN3 = K3M2 = K31 = 3
4. KMpMNp = KM4MN4 = K3M1 = K31 = 3
Если приведенная конъюнкция всегда принимает значение «3», то она никогда не будет истинной, а отсюда и Dр = 3, так что не может быть случайного истинного высказывания в соответствии с определением «D».
Аналогичным образом можно показать, что формула KpWpWNp всегда принимает значение «2»:
1. KWpWNp = KW1WN1 = K1W1 = K12 = 2
2. KWpWNp = KW2WN2 = K2W3 = K21 = 2
3. KWpWNp = KW3WN3 = K1W2 = K12 = 2
4. KWpWNp = KW4WN4 = K2W1 = K21 = 2
Аристотель настаивал на том, что оба случайных высказывания «Возможно, что здесь завтра состоится морское сражение» и «Возможно, что здесь завтра не состоится морское сражение», как высказанные накануне, могут быть истинными.
Лукасевич, используя обе свои возможности «М» и «W», попытался уточнить аристотелевское понимание случайности. Он обращается к примеру с монетой.
При подбрасывании монеты мы можем иметь в результате выпадение орла или решки. Оба результата мы склонные оценить как истинные, однако они не могут быть одновременно истинными, если первый результат обозначить тем же функтором, чтои второй. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, когда выпадание орла является возможностью, отличной от возможности его невыпадания.
Первую возможность мы обозначим как «Мр»(«Возможно, что «р», здесь мы имеем утверждение), а вторую – «WNp»(«Возможно, что «не-р», здесь мы имеем отрицание). Мы можем по договоренности поменять их местами: первую возможность обозначить как «Wp», а вторую – как «MNp». Ситуация от этого не изменится.
Обозначим введенные функторы символами Х и Y:
Мр - Х,
|
|