Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






K – конъюнкция,






A – дизъюнкция.

Теперь логические союзы можно записать в виде таких равенств:

а)Nx = 1 – x.

б)Kx, y = min (x, y).

в)Ax, y = max (x, y).

г)Cx, y = min (1, 1 – x + y).

Прокомментируем два из приведенных равенств (остальные понятны без комментариев):

а)Nx =1-x (то есть Nx = 0 при х = 1, Nx = 1, при х = 0, Nх = ½ при х = ½ );

г ) Cx, y = min (1, 1 – x + y). Читается данное равенство так: « значение истинности импликации высказываний х и у равно меньшему из чисел «1», «1 – х + у».

Рассмотрим все возможные варианты:

1. С 1, 0 = min (1, 1 – 1 + 0) = 1, 0 = 0

2. С 0, 1 = min (1, 1 – 0 + 1) = 1, 2 = 1

3. С 1, 1= min (1, 1 – 1 + 1) = 1, 1 = 1

4. С 0, 0 = min (1, 1 – 0 + 0) = 1, 1 = 1

5. С ½, 1= min (1, 1 - ½ + 1) = 1, 1 ½ = 1

6. С 1, ½ = min (1, 1 – 1 + ½) = 1, ½ = ½

7. С 0, ½ = min (1, 1 - 0 + ½) = 1, 1 ½ =1

8. С ½, 0 = min (1, 1 - ½ + 0) =1, ½ = ½

9. С ½, ½ = min (1, 1 - ½ + ½) = 1, 1 =1

 

б)Кх, у = min (х, у) – (то есть значение истинности конъюнкции х и у равно меньшему из значений истинности х и у).

Приведем возможные варианты:

2. К 0, 1 = min (0, 1) = 0

1. К 1, 0 = min (1, 0) = 0

3. К 0, 0 = min (0, 0) = 0

4. К 1, 1 = min (1, 1) = 1

5. К ½, 1 = min (½, 1) = ½

6. К 1, ½ = min (1, ½) = ½

7. К ½, 0 = min (½, 0) = 0

8. К 0, ½ = min (0, ½) = 0

9. К ½, ½ = min (½, ½) = ½

 

в)Ах, у = max (х, у) – (то есть значение истинности дизъюнкции х и у равно большему из значений истинности х и у).

Приведем возможные варианты:

1. А 1, 0 = max (1, 0) = 1

2. А 0, 1 = max (0, 1) = 1

3. А 1, 1 = max(1, 1) = 1

4. А 0, 0 = max (0, 0) = 0

5. А ½, 1 = max (½, 1) = 1

6. А 1, ½ = max (1, ½) = 1

7. А ½, 0 = max (½, 0) = ½

8. А 0, ½ = max (0, ½) = ½

9. А ½, ½ = max (½, ½) = ½

Если сопоставить табличное определение пропозициональных сязок, приведенное выше, с определениями в форме равенств, нетрудно увидеть их идентичность.

По наналогии с двузначной логикой, в трехзначной логике Лукасевича законом является формула, принимающая значение «1» при любых наборах значений пропозициональных переменных. Значение «1» называют «отмеченным» значением.

Естественно возникает вопрос: «Совпадает ли класс тавтологий двузначной логики с классом отмеченных формул трехзначной логики?». Оказыается, не все тавтологии двузначной логики сокраняют отмеченное значение в трехзначной.

Возьмем принципиальные формулы, которыми выражаются закон исключенного третьего и закон противоречия: A Ú Ø A, Ø (A & Ø A).

При значении ½ они перестают быть тавтологиями:

А Ú Ø А = ½ Ú Ø ½ = ½ Ú ½ = ½

Ø (А & Ø А) = Ø (½ & Ø ½) = Ø (½ & ½) = Ø ½ = ½

В этом случае не относится к числу тавтологий и правило сведения к абсурду:

(Ø А É (В & Ø В)) É А, поскольку

(Ø ½ É (½ & Ø ½)) É ½ = (½ É (½ & ½)) É ½ = (½ É ½) É ½ = 1 É ½ = ½

Не только закон исключенного третьего и закон противоречия не являются тавтологиями в трехзначной логике Лукасевича. Не являются тавтологиями и их отрицания. Убедимся в этом, ограничившись рассмотрением отрицания закона исключенного третьего:

Ø (АÚ Ø А)

1. Ø (1 Ú Ø 1) = Ø (1Ú 0) = Ø (1) = 0

2. Ø (0 Ú Ø 0) =Ø (0 Ú 1) = Ø (1) = 0

3. Ø (½ Ú Ø ½) =Ø (½ Ú ½)=Ø (½) = ½

Из приведенных фактов вытекает, что многозначная логика не является отрицанием (отбрасыванием) двузначной логики - подобно тому, как появление физики Эйнштейна не означало отказа от физики Ньютна. Правильнее будет сказать, что многозначная логика представляет обобщение двузначной. Ведь при значениях «1 » и « двузначная логика выступает как предельный (частный) случай многозначной.

 

б) Четырехзнаяная логика Я.Лукасевича

Такую логику Я.Лукасевич изложил в работе «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики».

Для этой логики он взял два исходных значения « и «0» и образовал из них четыре упорядоченных пары: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0), которые рассматриваются как элементы новой таблицы истинности. Значения истинности для исходных в его логике логических связок импликации и отрицания Я.Лукасевич задает соответствующими равенствами:

1) C (a, b) (c, d) = (C ab, C bd);

2) N (a, b) = (Na, Nb).

Упорядоченным парам сопоставим следующие значения:

(1, 1) = 1,

(1, 0) = 2,

(0, 1) = 3,

(0, 0) = 0.

Построим таблицу истинности для импликации с учетом введенных равенств:

q

С 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

1, 1 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

р 1, 0 1, 1 1, 1 0, 1 0, 1

0, 1 1, 1 1, 0 1, 1 1, 0

0, 0 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

 
 


Перепишем таблицу, использовав введенные сокращения:

q

С 1 2 3 0

1 1 2 3 0

Р 2 1 1 3 3

3 1 2 1 2

4 1 1 1 1

Дадим табличное определение отрицания (N):

p Np
1, 1 0, 0
1, 0 0, 1
0, 1 1, 0
0, 0 1, 1

С учетом сокращений данная таблица примет вид:

p Np
   
   
   
   

 

Зададим значения для конъюнкции, дизъюнкции и эквиваленции:

3) К (a, b) (c, d) = (K (a, c) K (b, d))

4) A (a, b) (c, d) = (A (a, c) A (b, d))

5) Q (a, b) (c, d) = (Q (a, c) Q (b, d))

Введем табличное определение конъюнкции (К), дизъюнкции (А) и эквиваленции (Q):

q

К 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

1, 1 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

р 1, 0 1, 0 1, 1 0, 0 0, 0

0, 1 0, 1 0, 0 0, 0 0, 0

0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0

 

 

В сокращенном варианте данная таблица примет вид:

q

К 1 2 3 0

1 1 2 3 0

р 2 2 2 0 0

3 3 0 0 0

0 0 0 0 0

 

Таблица для дизъюнкции будет выглядеть так:

q

А 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

р 1, 0 1, 1 1, 0 1, 1 1, 0

0, 1 1, 1 1, 1 0, 1 0, 1

0, 0 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

А это сокращенный вариант последней таблицы:

q

А        
         
         
         
         

р

Теперь запишем таблицу для эквиваленции:

q

Q 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

1, 1 1, 1 1, 0 0, 1 0, 0

1, 0 1, 0 1, 0 0, 0 0, 1

р 0, 1 0, 1 0, 0 1, 1 1, 0

0, 0 0, 0 0, 1 1, 0 1, 1

 

Сокращенный вариант последней таблицы выглядит так:

q

Q 1 2 3 0

1 1 2 3 0

2 2 2 0 3

p 3 3 0 1 2

0 0 3 2 1

Новые символы таблицы «2» и « можно истолковывать так: ««ближе к истине», «3» - «ближе ко лжи». Поскольку истинностные значения « и »3» взяты в качесвтве дополнительных, их можно отождествлять произвольным образом со значениями « и «0».

Возьмем, например, ітаблицу для импликации и примем следующее условие: 2 = 1, а

3 = 0: q

C 1 1 0 0

1 1 1 0 0

р 1 1 1 0 0 Таблица № 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 1

 

А теперь перепишем данную таблицу при условии, что 2 = 0, а 3 = 1:

q

С 1 0 1 0

1 1 0 1 0

р 0 1 1 1 1 Таблица № 2

1 1 0 1 0

0 1 1 1 1

 

Анализируя таблицу №1, мы видим, что:

а) первая строка совпадает со второй, а третья – с четвертой;

б) первая колонка совпадает со второй, а третья – с четвертой.

Если вычеркнуть совпадающие строки и колонки с меньшим номером, то получим таблицу истинности для импликации в двузначной логике. Тот же эффект можно наблюдать, анализируя таблицу № 2.

Итак, как и в случае с трехзначной логикой, четырехзначная логика представляет обобщение двузначной логики. Поэтому можно утверждать, что любое исчисление неклассической логики в своей основе содержит двузначную логику.

Заканчивая знакомство с четырехзначной логикой, зададим алгоритм построения таблиц истинности и определим значение произвольного выражения.

Таблица истинности здесь строится по формуле «4ⁿ», где «4» – это количество значений, принимаемых высказыванием, а «n» – количество пропозициональных переменных, входящих в состав сложного высказывания.

Например, имеем формулу

(p É Ø q) Ú p.

Построим для него таблицу истинности. По формуле 4n она будет содержать 16 строк..

 

p q Ø q p É Ø q (p É Ø q) Ú p (p É Ø q) Ú p
  1, 1 1, 1 0, 0 0, 0 1, 1  
  1, 1 1, 0 0, 1 0, 1 1, 1  
  1, 1 0, 1 1, 0 1, 0 1, 1  
  1, 1 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1  
  1, 0 1, 1 0, 0 0, 1 1, 1  
  1, 0 1, 0 0, 1 0, 1 1, 1  
  1, 0 0, 1 1, 0 1, 1 1, 1  
  1, 0 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1  
  0, 1 1, 1 0, 0 1, 0 1, 1  
  0, 1 1, 0 0, 1 1, 1 1, 1  
  0, 1 0, 1 1, 0 1, 0 1, 1  
  0, 1 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1  
  0, 0 1, 1 0, 0 1, 1 1, 1  
  0, 0 1, 0 0, 1 1, 1 1, 1  
  0, 0 0, 1 1, 0 1, 1 1, 1  
  0, 0 0, 0 1, 1 1, 1 1, 1  

 

Таким обоазом, даная формула является доказуемой в четырехзначной логике.

Проверим, будут ли тавтологиями в чотирехзначной логике законы исключенного третьего и противоречия: (АÚ Ø А) и Ø (А& Ø А).

 

А Ø А А Ú Ø А А Ú Ø А А & Ø А Ø (А & Ø А) Ø (А& Ø А)
  1, 1 0, 0 1, 1   0, 0 1, 1  
  1, 0 0, 1 1, 1   0, 0 1, 1  
  0, 1 1, 0 1, 1   0, 0 1, 1  
  0, 0 1, 1 1, 1   0, 0 1, 1  

Выходит, законы исключенного третьего и противоречия остаются тавтологиями и в четырехзначной логике. А это означает, что многозначная логика не всегда отбрасывает законы классической логики. Поэтому более адекватным будет определениемногозначной логики как такой, которая допускает для высказываний более двух оценок.

Критика законов исключенного третьего и противоречия является лишь внешним проявлением тех процессов, которые определяют отношение между классической и неклассической логикой. И данное обстоятельство следует принимать во внимание при характеристике классической логики.

Прокомментируем последнее утверждение.

С учетом существования классической и неклассической логики закон исключенного третьего можно определить трояко:

а) «Любое высказывание является либо истинным, либо ложным».

б) «Любое высказвание обладает либо не обладает некоторым истинностным значением».

в) А Ú Ø А.

В приведенных определениях закона исключенного третьего решающими являются характеристики дизъюнкции и отрицания. Другими словами, при одних определениях формула

А Ú Ø А остается законом (в четырехзначной логике Я.Лукасевича), при других – нет (в трехзначной логике Я.Лукасевича). Если мы определим тавтологию как высказывание, которое всегда принимает одно из двух значений «1» либо «½» тоформула А Ú Ø А окажется тавтологией:

А Ú Ø А = 1Ú Ø 1 = 1Ú 0 = 1

А Ú Ø А = 0Ú Ø 0 = 0 Ú 1 = 1

А Ú Ø А = ½ Ú Ø ½ = ½ Ú ½ = ½

Третье определение закона исключенного третьего АÚ Ø А (как и закона противоречия

Ø (А& Ø А))являетсяприблизительным обозначением данного закона, поскольку его нельзя сводить к соответствующей тождественно истинной формуле – она будет представлять лишь некоторую экспликациюданного закона. И когда в учебниках логики в разделе «Законы логики высказываний» некоторые авторы законы тождества, противоречия и исключенного третьего приводят как соответствующие тавтологии (А É А, А Ú Ø А, Ø (А & Ø А) ), они поступают не совсем корректно. Особенно это бросается в глаза, когда задается интерпретация дизъюнкции и отрицания в многозначной логике; при этом формула А Ú Ø A хотя и будет законом (например, в четырехзначной логике), но не законом исключенного третьего в собственном его понимании.

Исходя из сказанного, всегда следует подходить придирчиво к тезису: «закон исключенного третьего в данной системе не действует».Если взять четырехзначную логику Лукасевича, то заявление, что «каждое высказывание является истинным или ложным» будет некорректным. В ней принимается утверждение: «Любое высказывание имеет значение «1» или «2» или «3» или «0». Можно сказать иначе: «Любое высказывание либо является истинным, либо не является (то есть принимает одно из остальных значений)».

Что касается закона противоречия, то из трех возможных его определений только первое сохраняет силу в многозначной логике:

1. «Невозможно, чтобы высказывание было одновременно истинным и ложным».

2. «Невозможно, чтобы высказывание имело и одновременно не имело хотя бы одно значение из числа возможных».

3.Ø (А & Ø А).

Таковы основные черты многозначной логики Я.Лукасевича.

 

 

2. Многозначная логика Брауэра – Гейтинга.

В развитии логики, как и любой науки, определяющими являются два вида причин:

а) внутренние и

б) внешние.

Для логики ввнуьренними стимулами развития является разработка и усовершенствование ее аппарата, а внешними – те процессы в научном познании, ддя анализа которых требуются логические средства.

Если для формулировки многозначной логики Лукасевича таким внешним толчком послужил анализ модальных высказываний, то для многозначной логики Брауэра – Гейтинганеобходимость обоснования математики в рамках концепции интуиционизма.

Брауэр исходил из следующего положения: «Если закон исключенного третьего действует в математической системе, рассматривающей конечные совокупности объектов, то в системе с бесконечными величинами он утрачивает свою абсолютность».

Гейтинг ввел такие определения для отрицания (N) и импликации (С):

C               ½  
x     ½     ½     ½
y   ½       ½   ½  

х Nx

1 0

0 1

½ 0

В форме равенств Гейтинг задает импликацию следующим образом:

1) С х, у = 1, если £ у.

а) С х, у = С 0, 1 = 1

б) С х, у = С 0, ½ = 1

в) С х, у = С ½, 1 = 1

г) С х, у = С 0, 0 = 1

д) С х, у = С 1, 1 = 1

е) С х, у = С ½, ½ = 1

2) С х, у = у, если х > у.

а) С х, у = С 1, 0 = 0

б) С х, у = С 1, ½ = ½

в) С х, у = С ½, 0 = 0

Если объединить результаты двух равенств, то получим приведенную выше таблицу истинности для импликации.

Сравним теперь импликацию трехзначных логик Лукасевича и Гейтинга:

Лукасевич: С х, у = С ½, 0 = 1 - ½ + 0 = ½

С х, у = С 1, ½ = 1 – 1 + ½ =½

Гейтінг: С х, у = С ½, 0 = 0

С х, у = 1, ½ =½

Таким образом полного сходства нет.

Конъюнкцию и дизъюнкцию Гейтинг определил в соответствии с равенствами:

а) К х, у = min (х, у)

б) А х, у = max (х, у)

а) б)

Q q

& 1 ½ 0 Ú 1 ½ 0

p 1 1 ½ 0 p 1 1 1 1

½ ½ ½ 0 ½ 1 ½ ½

0 0 0 0 0 1 ½ 0 [А1]

С помощью таблиц истинности проверим, являются ли тавтологиями формулы CNNxx и AxNx

1. CNNxx = CNN½ ½ = CN 0 ½ = C1½ = ½

2. AxNx = A½ N½ = A½ 0 = ½.

Итак, законы двойного отрицания и исключенного третьегов системе Брауэра – Гейтинга не являются доказуемыми. В то же время формулы CxNNx и AAxNxNNx являются тавтологиями:

1. CxNNx = C½ NN½ = C½ N0 = C ½ 1=1

1. CxNNx = C0 NN0 = C 00 = 1

2. CxNNx = C1 NN1 = C11 = 1

Рассмотрим теперь формулу AAxNxNNx:

1. AAxNxNNx = AA1 N1 NN1 = AA101 = A11 = 1

2. AAxNxNNx = AA00 N0 NN0 = AA 010 = A01 = 1

3. AAxNxNNx = AA½ N½ NN½ = AAN½ N0 = A½ 1 = 1

Последняя формула (в привычной записи она выглядит так: (рÚ Ø р) Ú Ø Ø р) является своеобразным обобщением закона исключенного третьего с учетом того, что в логике Гейтинга двойное отрицание не эквивалентно утверждению. Сказанное означает, что многозначная логика Гейтинга является дополнением, своеобразным обобщением двузначной логики..

Для доказательства формул в данной системе строятся таблицы истинности. Поскольку данная логика трехзначна, то таблица истинности строится по формуле «3ⁿ ».

Возьмем две формулы и построим для них соответствующие таблицы истинности:

а)(p É Ø q) Ú q; б) Ø p É (p É q).

а)

  Ст p q Ø q p É Ø q (p É Ø q) Ú q
           
      ½     ½
             
    ½        
    ½ ½     ½
    ½        
             
      ½      
             
             

 

б)

Ст p q Ø p p É q Ø p É (p É q)
           
    ½   ½  
           
  ½        
  ½ ½      
  ½        
           
    ½      
           

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.