Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Рассмотрим решения неравенств.

Теорема 2.3. Множество решений неравенства с двумя перемен­ными

ацх\ + а_пХ2^ Ь\

Quot;

Глава 2

Элементы линейной алгебры и геометрии

является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой а\\Х\ + а\₂Х2 ⁼ Ь\, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравен­ства

«1|Х| + 0, 2*2^1

D Для произвольной абсциссы х\ ордината точки М (рис. 2.6), лежащей на прямой а\\Х\ + а\2Х₂ ⁼ *Ь ^ПР^И условии а_х2 * О, есть

. ('... «и ... Ь\ Х2 = -■

а_п а_п

плоскости удовлетворяют неравенству (2.3), а координаты нижней полуплоскости — неравенству (2.2).■ > 2.4. Построить множество решений неравенства:

a) 3x_t ~ 4х₂ + 12 <. 0; б) Зх, - 2х₂ > 0.

Решение. В соответствии с теоремой 2.3, множество ре­шений неравенства есть полуплоскость.

а) Построим границу полуплоскости — прямую 3xi - 4х₂ + + 12 = 0, найдя точки ее пересечения с осями координат А (~4; 0) и В (0; 3) на рис. 2.7, а.

Рис. 2.6

Через точку М проведем прямую, параллельную оси 0x2.. Тогда для любых точек Р и Q этой прямой, расположенных выше и ни­же точки М, т.е. в верхней и нижней полуплоскостях, будут верны

неравенства x₂q > х₂м ^{и Х}2Р ^ ^xiQ ^{или х}2 -

При условии «12 > 0 неравенства преобразуют-

ся соответственно к виду 0цХ1 + о₁₂х₂ > Ь\ и ДцХ1 + «12X2 < о_ь т.е координаты всех точек верхней полуплоскости удовлетворяют неравенству (2.2), а нижней полуплоскости — неравенству (2.3). В случае < з₁₂ < 0, наоборот, координаты всех точек верхней полу-

Для определения искомой полуплоскости (верхней или ниж­ней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе — построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не вы­полняется во всех точках другой полуплоскости. И наоборот, в случае невыполнения неравенства в контрольной точке, оно не выполняется во всех точках полуплоскости, содержащей кон­трольную точку, и выполняется во всех точках другой полуплос­кости.

В качестве контрольной точки удобно взять начало координат О (0; 0), не лежащее на построенной прямой. Координаты точки О не удовлетворяют неравенству: 3-0-4-0 +12< О, следовательно, решением данного неравенства является нижняя полуплоскость, не содержащая контрольную точку О. Искомая полуплоскость выделена штриховкой.

38 Глава 2

б) Построим границу полуплоскости — прямую Зх\ — 4x2 = 0 ^по двум точкам. Одной из этих точек является начало координат на рис. 2.7, б (в уравнении прямой отсутствует свободный член), а другую точку берем на прямой произвольно, например, А (2; 3) на рис. 2.7, б. В качестве контрольной возьмем, например, точку 5(1; 0). Самую " простую" точку О (0; 0) здесь в качестве контрольной брать не следует, ибо она лежит на построенной прямой. Так как коорди­наты контрольной точки В (1; 0) удовлетворяют неравенству, т.е. 3 • 1 - 2 • 0 > 0, то решением данного неравенства является ниж­няя (правая) полуплоскость, содержащая эту точку>

Учитывая, что множество точек, удовлетворяющих уравнению

а,, Х| + а_пх₂ +... + а_1пх„ =Ь_Х (2.4)

при л=3, является плоскостью, а при «> 3 — ее обобщением в «-мерном пространстве — гиперплоскостью, теорему 2.3 можно распространить на случай трех и более переменных.

Теорема 2.4. Множество всех решений линейного неравенства с п переменными

а\\Х\ + 012*2+ - + Я1п*п^1

является одним из полупространств, на которые все пространство делится плоскостью или гиперплоскостью (2.4), включая и эту плос­кость (гиперплоскость).

Рассмотрим множество решений систем неравенств.

Теорема 2.5 Множество решений совместной системы т линей­ных неравенств с двумя переменными

' а_их\ +а_пх₂ < Ь_и

а₂1*| +^22^х2 - ^2'

^ат\^х\ + ^ат2^х2 * ^Ьт

является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).

О Каждое из неравенств в соответствии с теоремой 2.3 опре­деляет одну из полуплоскостей, являющуюся выпуклым множест­вом точек. Множеством решений совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат полуплоскостям

Элементы линейной алгебры и геометрии

решений всех неравенств, т.е. принадлежат их пересечению. Со­гласно теореме 2.2 о пересечении выпуклых множеств это множе­ство является выпуклым и содержит конечное число угловых то­чек, т.е. является выпуклым многоугольником (выпуклой много­угольной областью). Ш {> 2.5. Построить множество решений системы неравенств

'-5х, + 4х₂ < 20, (1)
2х, + Зх₂ £ 24, (И)
■ x, -3x₂< 3, (III)
*! ^ О, (IV)

0< л; ₂< 6. (V, VI)

Решение. Для построения искомого множества решений системы неравенств строим последовательно множество решений каждого неравенства аналогично тому, как это делалось в задаче 2.4. Рекомендуем после нахождения каждой полуплоскости и вы­деления ее соответствующей штриховкой находить последова­тельно их пересечение: сначала полуплоскостей решений первых двух неравенств (многоугольной области GFD на рис. 2.8), затем первых трех неравенств (треугольника GFD), потом — четырех неравенств (четырехугольника HAFD), далее — пяти неравенств (пятиугольника OAFDE) и, наконец, всех шести неравенств — выпуклого многоугольника OABCDE.

Глава 2

Элементы линейной алгебры и геометрии 41

Координаты угловых точек — вершин этого многоугольника найдем как координаты точек пересечения соответствующих пря­мых. Например, точка D является точкой пересечения прямых II и III, т.е. ее координаты являются решением системы

24, (II) 3, (III)

откуда х\ = 9, Х2 = 2, т.е. D (9; 2). Аналогично находим координаты других угловых точек: О (0; 0), А (0; 5), В (4/5; 6), С(3; 6) £ (3; 0)>

При построении областей решений систем неравенств могут встретиться и другие случаи: множество решений — выпуклая мно­гоугольная область (рис. 2.9, а); одна точка (рис. 2.9, б); пустое мно­жество, когда система неравенств несовместна (рис. 2.9, в).

б) системы уравнений

Xi + Х2 - Х4 = I.

Убедиться в справедливости теоремы 2.7.

Решение, а) Рассмотрим частный случай системы линейных уравнений (от < «), содержащей п = 2 переменных, т.е. состоящей из одного уравнения (т = 1). Множество всех решений данного уравнения есть прямая 2х] + Зхг = 6, а множество допустимых решений (при дополнительном условии X] > 0, х₂ > 0) — точки отрезка АВ (рис. 2.10, а), который можно рассматривать как част­ный случай выпуклого многогранника с двумя угловыми точками ДЗ; 0) и 5(0; 2).

*2

0 х, 0 х,

а _б в

Рис. 2.9

Теорема 2. 6. Множество решений совместной системы т линей­ных неравенств с п переменными является выпуклым многогранником (выпуклой многогранной областью) в n-мерном пространстве.

Рассмотрим множество допустимых решений системы т линей­ных уравнений с л переменными.

Теорема 2.7. Множество всех допустимых решений совместной системы т линейных уравнений с п переменными (т < п) является выпукльш многогранником (выпуклой многогранной областью) в n-мерном пространстве.

Доказательство этой теоремы приведено в гл. 3. Здесь же про­иллюстрируем теорему на примерах. 2.6. Построить множество допустимых решений:

а) уравнения 2х\ + 3x2 ⁼ 6;

5 6

б) Построить непосредственно множество решений системы уравнений с я = 4 («> 3) переменными не представляется воз­можным. В данном случае (когда разность между числом пере­менных и уравнений п - т = 2) можно поступить так: разобьем все переменные на основные, например хз и х* (определитель из коэффициентов при них отличен от нуля), и неосновные (свободные) переменные X) и х₂, и вместо множества решений системы построим множество значений их неосновных перемен­ных (выполнить это возможно, так как их всего две).

С этой целью выразим основные переменные через неосновные:

|х₃ = 12-2х, -Зх₂, [х₄ = -1 + Х] +х₂.

Глава 2

Элементы линейной алгебры и геометрии

ак как рассматриваются допустимые значения переменных, т.е. х\ £ О, х₂ > О, х₃ s О, Х4 s О, то

12 - 2х, - 3jc₂ > О, (I)
- -1 + х, + х₂ > О, (II)

х, St О, *₂*0. (Ш, IV)

Решениями полученной таким образом системы неравенств являются точки четырехугольника ABCD на рис. 2.10, б с четырь­мя угловыми точками ДО; 1),.8(0; 4), С(6; 0), Д1; 0) (рекомен­дуем убедиться в этом самому читателю).

В данном примере графические построения проведены не в про­странстве всех переменных, а в плоскости двух неосновных перемен­ных X), х₂. Но так как любой паре неосновных переменных Х\, х₂ соответствуют определенные значения основных переменных хз, х\, а следовательно, одно и только одно решение данной системы уравне­ний, то каждой точке построенного четырехугольника ABCD соответ­ствует одна и только одна точка множества допустимых решений системы уравнений, представляющего в данном случае выпуклый многогранник в четырехмерном пространстве.^

Между допустимыми базисными решениями и угловыми точками множества допустимых решений системы линейных уравнений суще­ствует взаимнооднозначное соответствие. Это утверждение будет доказано в гл. 3, здесь же ограничимся примером. ^ 2.7. Убедиться в том, что между базисными решениями систем, приведенных в задаче 2.6, и угловыми точками множества их допустимых решений существует взаимнооднозначное соответст­вие.

Решение, а) Система, состоящая из одного уравнения, име­ет два допустимых базисных решения. Первое базисное решение Х\ = (3; 0) получается из уравнения, если в качестве основной взять переменную х\, а неосновной — переменную х₂ = 0. Второе базисное решение А" ₂ = (0; 2) получается, если основная перемен­ная х₂, а неосновная — переменная х\ = 0. Из рис. 2.10, а следует, что допустимым базисным решениям Х\ и Xi однозначно соответ­ствуют угловые точки отрезка АВ — множества допустимых реше­ний уравнения.

б) Для системы, приведенной в задаче 2.6, б, можно получить четыре допустимых базисных решения (рекомендуем читателю най-

ти их самостоятельно): Х\ = (1; 0; 10; 0), Х%^ж (6; 0; 0; 5), Х₃ = (0; 1; 9; 0), Х4 = (0; 4; 0; 3). Из рис. 2.10, б следует, что этим допусти­мым базисным решениям однозначно соответствуют точки Д1; 0), С(6; 0), ДО; 1) и 5(0; 4) многоугольника ABCD — множества допустимых решений системы уравнений.►

УПРАЖНЕНИЯ

В задачах 2.8 и 2.9 решить системы уравнений.

ЗХ] + х₂ - х₃ - 2х₄ = -4, Х[ + х₂ - х₃ + 2х₄ = 1.

В задачах 2.10 и 2.11 найти базисные решения.

fx, + 2х₂ - х₃ = 5, к + х₂ + х₃ + х₄ = 2

².1 2х. - х, - Зх, = -4. 2.11. 2х, + 2х, - х₃ + 2х₄

В задачах 2.12 и 2.13 построить множество решений неравенства.
2.12. 4xi - ⁵*2 + 20 < 0. 2.13. Ах_{ - Зх₂ > 0.

В задачах 2.14 и 2.15 построить множества решений системы

неравенств и найти их угловые точки. 5х, - Зх₂ + 15 > 0, 0 <, х₂ <, 10,

X! + х₂ - 17 й 0, 2.15.

0< х, Sit

В задачах 2.16 и 2.17 построить множества допустимых реше­ний уравнений.

2.16. Ъх_х + 5х₂ = 15. 2.17. 2х_х - Зх₂ = 0.