Института

Глава 1

Общая постановка задач

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель за­дачи.

Обозначим Х\, х₂ — число единиц продукции соответственно Р\ и Р₂, запланированных к производству. Для их изготовления (см. табл. 1.1) потребуется (lxi + 3x₂) единиц ресурса S\, {2х_х + \-х₂) единиц ресурса S₂, (1^-*2) единиц ресурса St, и Зх[ еди­ниц ресурса 64. Так как потребление ресурсов S], S₂, St, и 5t не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 еди­ницы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выра­зится системой неравенств:

*! +3х₂ ^18>

2*1 + *2 ^ ^1б> «, v

*2 ^ ⁵>
Зх, < 21.

По смыслу задачи переменные

*1 S 0, х₂ s 0. (1.2)

Суммарная прибыль F составит 2jq руб. от реализации про­дукции Р\ и Ъх₂ руб. — от реализации продукции Р₂, т.е.

F=2x_] +3x₂. (1.3)

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции Х^ш (jq, x₂), удовлетворяющий системе (1.1) и условию (1.2), при котором функция (1.3) принимает максимальное значение., ►

Задачу легко обобщить на случай выпуска п видов продукции с использованием т видов ресурсов.

Обозначим х_у- 0 ⁼ 1» 2,..., л) — число единиц продукции /), запланированной к производству; />, • (/' =1, 2,..., /и) — запас ресур­са S_h ay — число единиц ресурса 5/, затрачиваемого на изготовле­ние единицы продукции Pj (числа ау часто называют технологиче­скими коэффициентами); cj — прибыль от реализации единицы продукции Pi.

Тогда экономико-математическая модель задачи об использо­вании ресурсов в общей постановке примет вид: найти такой план X — (х\, х₂,..., Хп> выпуска продукции, удовлетворяющий системе

а\\Х\ + а\₂х₂+...+а\_пх_п < Ъ\,

а₂, х, + а₂₂х₂ +.. .+а_2пх„ < ^,

^flml*l + °т2*2+- • +^атпХ_П * ^Ьп

и условию

х\ > 0, х₂ > 0,..., х_п > 0, при котором функция

F* с\Х\ + с₂х₂ +...+ с„х„ принимает максимальное значение.

2. Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях). > 1.2. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S\, S₂ и £ 3. Содержание числа единиц пита­тельных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый ми­нимум питательных веществ приведены в табл. 1.2 (цифры услов­ные).

Табл и ца 1.2

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб.

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных ве­ществ было бы не менее установленного предела.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Глава 1

Общая постановка задач

Обозначим х\, Х2 — количество кормов I и II, входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион (см. табл. 1.2) будет включать (3xi ⁺ 1^-*2) единиц питательного вещества S\, (lxj +2x₂) единиц вещества Sj и (lxj + 6x₂) единиц питательного вещества Sy Так как содержание питательных веществ S_h S2 и S$ в рационе долж­но быть не менее соответственно 9, 8 и 12 единиц, то получим систему неравенств:

3xj + Х2 S 9,

■ x_t + 2х₂ > 8, (1.7)

xj + 6x2 > 12.

Кроме того, переменные

xt > 0, х₂ > 0. (1.8)

Общая стоимость рациона составит (в руб.)

/ = 4xj + 6x₂. (1.9)

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион X = (х\, Х2), удовлетворяющий системе (1.7) и усло­вию (1.8), при котором функция (1.9) принимает минимальное значе­ние.^

Для формулировки задачи в общей постановке обозначим: Xj (j = 1, 2,..., ri) — число единиц корма я-го вида; bj (/ = 1, 2,..., /я), — необходимый минимум содержания в рационе питательного вещества 5,; ау — число единиц питательного вещества 5/ в еди­нице корма у'-го вида; Cj — стоимость единицы корма у'-го вида. Тогда экономико-математическая модель задачи примет вид:

найти такой рацион X = {х\, xi,..., х„), удовлетворяющий сис­теме

а_пх₁ + а_пх₂+...+а_ых_п^Ь₁,

«21*1 + «22*2+- • -+Я2л*_л ^ h, _{(1 10)}

^ат1^х\^+ат2^х2+--+с_тп^хп > К и условию

X] > 0, х₂ > 0,..., х„ > 0, (1.11)

при котором функция

F= с\Х\ + c₂x₂ +...+ с„х_п (1.12)

принимает максимальное значение.

3. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке обо­рудования).

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Г выпустить п\, щ,..., п_к еди­ниц продукции Р\,? 2, •■ •>? к- Продукция производится на станках S\, Si, ■ ■ ■, S_m. Для каждого станка известны производительность ау (т.е. число единиц продукции Pj, которое можно произвести на станке S,) и затраты by на изготовление продукции Pj на станке 5, -в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим х«— время, в течение которого станок Sj будет за­нят изготовлением продукции Pj (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., k).

Так как время работы каждого станка ограничено и не пре­вышает Т, то справедливы неравенства:

х_п+х_п+...+х\_к < Т, X₂i+X22+...+X_2k< T,

^xml + ^xm2⁺-■ -^+xmk ^й Т.

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства:

°ll*ll ^{+ a}2\^x2\⁺---^+am\^xm\ = ^пЬ «12*12 + ^а22*22+---^+й7я2*т2 = " 2-

(114)

? \k^xlk ^{+ a}2k^x2k⁺---^+amk^xmk = ⁿk- Кроме того,

х^О (/ = 1, 2,..., /я; / = 1, 2,..., к). (1.15)

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией

F= b_nx_u + b_nx_n +...+ b_mkx_mk. (1.16)

Экономико-математическая модель задачи об использовании мощностей примет вид: найти такое решение X = (хц, х\2, •••, ^хтк)>

Глава 1

Общая постановка задач

удовлетворяющее системам (1.13) и (1.14) и условию (1.15), при ко­тором функция (1.16) принимает минимальное значение.

4. Задача о раскрое материалов.

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве а единиц. Требуется изготовить из него / разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональ­ных числам b_u b₂,...b[ (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена п различными способами, при­чем использование /-го способа (/ = 1, 2,..., я) дает a_ik единиц k-vo изделия (к= 1, 2,..., /).

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим Xj — число единиц материала, раскраиваемых /-м способом, их— число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

1>, =_а. (1.17)

/=1

Требование комплектности выразится уравнениями

Zxia_ik=b_kx(k = l, 2,..., l). (1.18)

/=l

Очевидно, что

х, SO (/ = 1, 2,..., я). (1.19)

Экономико-математическая модель задачи: найти такое реше­ние Х=(х\, х_2> ..., х„), удовлетворяющее системе уравнений (1.17) — (1.18) и условию (1.19), при котором функция F-x принимает мак­симальное значение. ^ 1.3. Для изготовления брусьев длиной 1, 2 м, 3 м и 5 м в соотно­шении 2: 1: 3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Опреде­лить план распила, обеспечивающий максимальное число ком­плектов. Составить экономико-математическую модель задачи.

Решение. Прежде всего определим всевозможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Обозначим: Xj — число бревен, распиленных i-m способом (/ = 1, 2, 3, 4); х — число комплектов брусьев.

Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектно­сти, экономико-математическая модель задачи примет вид:

F= x-> max

при ограничениях:

X] + х₂ + х_ъ + х₄ = 195,
5х, + 2х₂ = 2х,

<

Xq ⁼ ЭХ,