Примеры решения задач. 1.Свободно падающее тело проходит за первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8м больше

1.Свободно падающее тело проходит за первую секунду 4, 9 м, а в каждую следующую секунду на 9, 8м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние будет пройдено за 5-ую секунду?

Решение:

Пути, проходимые за 1-ю, 2-ю, 3-ю и т.д. секунды образуют арифметическую прогрессию, у которой а₁=4, 9, d=9, 8. Следовательно, а₅=4, 9м+4× 9, 8м=44, 1м.

2. Курс воздушных ванн врачи рекомендуют начинать с 15 мин. в первый день, а затем увеличивать время этой процедуры каждый следующий день на 10 мин. Через сколько дней будет достигнута нужная продолжительность в 1час 45мин.?

Решение:

Последовательность значений длительности процедуры в первый, второй и т.д. день представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом а₁=15мин. и разностью d=10мин. Таким образом, надо найти номер n члена прогрессии, для которого a_n=1час45мин=105мин, т.е. надо найти n из уравнения:

a_n=a₁+d(n-1)=105. Подставив в формулу а₁=15 и d=10 и решив уравнение, получим:

15+10(n-1)=105, или n=10 дней

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Доказательство того, что эта формула верна при всех n, проведем методом математической индукции.

а)S₁=a₁, следовательно, для n=1 формула верна;

б)Покажем, что если формула верна для значения k, то она верна и для следующего натурального числа k+1. Имеем:

. Следовательно, формула верна для всех n.