Примеры из финансовых расчетов

Все приведенные здесь формулы находят широкое применение в самых разных областях. Например, в сфере банковских расчетов, когда в финансово-банковских операциях участвуют не разовые платежи, а некоторая последовательность платежей во времени.

Рассмотрим самый простой случай. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (i= – p – процент наращения, i – ставка наращения). Все взносы, кроме последнего, приносят проценты – на первый взнос проценты начисляются n-1 раз, на второй – n-2 раза и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Наращенные к концу срока суммы составят:

R(1+i)^n-1, R(1+i)^n-2, …, R(1+i), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Легко видеть, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Число членов прогрессии равно n. Следовательно, наращенная сумма такого потока вычисляется по формуле:

При n=1 наращенная сумма S₁=R. При i=0 (нет наращения) формула не работает, но она и не нужна, так как S_n=nR. При i> 0 наращенная сумма S_n> nR.

Задачи

1. Для обеспечения некоторых будущих расходов создается фонд. Средства в фонд поступают в течение 4 лет в виде взносов 4млн. рублей в конце года. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 12% годовых. Величина фонда на конец срока составит:

Заметим, что внесено в фонд в виде взносов было 16 млн. руб. (чт о соответствует i=0).

2. Через 3 года понадобится для организации начала работ 1млн. руб. Какими должны быть ежегодные взносы в банк, начисляющий 10% годовой прибыли?

Решение:

Взносы будем производить по схеме: сразу кладем в банк R рублей, через год, еще R рублей, через 2, через 3 года по R рублей. Всего 4 взноса. Через 3 года наращенные платежи станут такими: R(1+0, 1)³, R(1+0, 1)², R(1+0, 1), R. Выписав члены последовательности в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию с начальным членом b₁=R, знаменателем q=1+0, 1=1.1, n=4. Значение суммы нам известно, это 1 млн. руб. - столько мы должны накопить к концу срока. По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:

Подставляем в формулу наши данные:

1000000=R× (1, 1⁴-1): 0, 1=R× 10× (1, 4641-1)=R× 4, 641; R=1000000: 4, 641=215.470, 8руб.