Полная группа событий

Несовместимые события – события, наступление которых одновременно при одном и том же опыте (испытании) невозможно. Например, выпадение двух граней кубика при одном броске невозможное событие.

Полная группа событий – совокупность однородных несовместимых событий, наступление одного из которых обязательно. Для примера с игральным кубиком полная группа событий будет выпадение каждой из шести граней.

И по классическому и по аксиоматическому определению вероятности очевидно, что вероятность наступления любого случайного события А будет равна 0< Р(А)< 1. Краевые значения 0 и 1 будут определять неслучайные события – их делят на:

невозможные – (Р(А)=0 или Р(Ө)=0) – наступление которых при данных условиях невозможно

достоверные – (Р(А)=1) – наступление которых при данных условиях обязательно.

Для несовместимых событий легко определить вероятность объединения (суммы) событий. Если Аi при i Є (1, n) несовместимые события, то вероятность суммы событий Аi равна сумме их частных вероятностей.

Р(А1+А2+, …, +Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)

Следствием двух основных теорем вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения - являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Теорема. Если событие F может произойти только при условии

появления одного из событий (гипотез) А1, A2,..., An, образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий (гипотез) на соответствующие условные вероятности события F:

Формула (1.31) называется формулой полной вероятности. В частности, для противоположных событий (гипотез) А и А ‚ образующих полную группу, формула (1.31) примет вид:

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.

Она применяется, когда событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А1, А2,..., Аn, образующих полную группу событий, п р о и з о ш л о и необходимо произвести количественную п е р е о ц е н к у априорных вероятностей этих гипотез

Р(А,)‚ Р(А2)‚ …, Р(Аn)‚ известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез

Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей событий в двух формах:

Значение формулы Байеса состоит в том, что при появлении события F, т.е. по мере поступления данных, получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы (принятые решения, предполагаемые модели),

основываясь на переходе от их априорных вероятностей к апостериорным (рис. 1.8).

Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе.