Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Теорема (правило) умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Теорема умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

, т.е вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

(Условная вероятность (если спросит). Вероятность P(B) как мера степени объективной возможности наступления события B имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события B может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность P(B), добавить новое условие A, то полученная вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B и обозначается . )

Теорема Умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, НЕЗАВИСИМЫ.

Событие B называется независимым от события A, если его вероятность не меняется от того, произошло событие A или нет, т.е.

Если событие B не зависит от A, то и событие A не зависит от B.

Т.К. по условию событие B на зависит от A, то

Запишем теорему умножения вероятностей (1.21) в двух формах:

Заменяя на , получим , откуда, полагая, что , получим , т.е событие A не зависит от B.

Таким образом, зависимость и независимость событий всегда взаимны. Поэтому можно дать следующее определение независимости событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.

Для НЕЗАВИСИМЫХ событий теорема умножения вероятностей для двух и нескольких событий примет вид:

,

Т.е вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Говоря о НЕЗАВИСИМОСТИ событий, отметим следующее.

1. В основе независимости событий лежит их физическая независимость, означающая, что множество случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания, не пересекаются (или почти не пересекаются).

2. Попарная независимость нескольких событий (т.е независимость взятых из них любых двух событий) еще не означает их независимости в совокупности.