Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
|
|
Пусть 
функция, дифференцируемая бесконечное число раз в окрестности точки 
. Предположим, что её можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в некотором интервале, содержащем точку . Т.е. 
Найдем числовые коэффициенты 
, 
, 
, …, 
, … этого ряда. Подставим в равенство (1) значение 
Отсюда 
.
Теперь продифференцируем равенство (1):
Подставим в равенство (2)
Отсюда 
.
Продифференцируем равенство (2):
(3)
Подставим в равенство (3)
Отсюда 
Если продолжать дифференцирование и в получающиеся равенства подставлять 
, то можно последовательно найти все коэффициенты ряда (1), т.е. 
Подставим найденные коэффициенты в равенство (1), тогда:
(5)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенной ряд вида (5) называют рядом Тейлора для функции .
Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда 
и функция разлагается в ряд непосредственно по степеням 
, (6)
этот ряд называют рядом Маклорена.
Составить ряд Тейлора можно для любой функции, дифференцируемой бесконечное число раз. Однако, остается открытым вопрос: будет ли полученный ряд сходиться и, если сходится, то будет ли в области сходимости его сумма равна данной функции . Обозначим 
частичную сумму ряда Тейлора:
.
Тогда 
Здесь 
- остаток или остаточный член ряда Тейлора.
Примем без доказательства следующее утверждение:
Ряд Тейлора представляет данную функцию только тогда, когда 
.
Если 
, то ряд Тейлора не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).
Если ряд Тейлора для функции сходится к этой функции, то величина остаточного члена дает ошибку, которую мы делаем, заменяя частичной суммой ряда Тейлора.
Для оценки остаточного члена ряда Тейлора его можно записать в форме Лагранжа:
где 
Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом n выполняется неравенство 
, где постоянная 
, то и функция представима в виде суммы ряда Тейлора.
Ниже представлены разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций.
Используя разложения 1) – 7) таблицы 2 можно достаточно просто получить разложение элементарной функции в ряд.
ПРИМЕР. Разложить в ряд по степеням x функцию 
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся разложением (2): 
Заменим в этом разложении на 
: 
или
ПРИМЕР. Разложить в ряд по степеням функцию 
.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся разложением (1) табл.2 
: 
Заменим в разложении на 
: 
.
Теперь умножим все члены ряда на и получим 
.
Легко найти, что областью сходимости полученного ряда является вся числовая ось.
ПРИМЕР. Разложить в ряд по степеням функцию 
.
РЕШЕНИЕ
Воспользуемся разложением (4):
Преобразуем выражение для данной функции: 
Заменим в разложении (4) на (
) и подставим 
:
Т.к. для разложения (4) область сходимости 
, то для того, чтобы найти область сходимости полученного ряда, решим неравенство 
. Умножим обе части неравенства на (-4), тогда: 
.
Этот интервал является областью сходимости полученного ряда.
ТАБЛИЦА 2
Разложение по степеням x некоторых элементарных функций
|
|