Модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Построим последовательность частичных сумм знакочередующегося ряда с четными индексами:

Поскольку любая скобка в этой сумме положительна, то последовательность возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представим в виде:

.

Здесь также каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания из положительных чисел получаем число, меньше чем , т.е. для любого .

Итак, последовательность - возрастающая, ограниченная сверху, значит, она имеет конечный предел. Обозначим его через S, т.е. , причем .

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечетными индексами:

.

Согласно условию , поэтому

Таким образом, предел частичных сумм равен S как для сумм с четными индексами, так и для сумм с нечетными индексами.

Следовательно, а это значит, что ряд сходится и его сумма равна S.

Рассмотрим остаток ряда: Он также является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница. Следовательно, он сходится и его сумма меньше абсолютной величины первого члена т.е.

ПРИМЕР. Пользуясь признаком Лейбница исследовать на сходимость ряд

РЕШЕНИЕ. Выпишем члены ряда: и применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий этого признака:

Легко убедится, что с возрастанием n, члены ряда убывают по абсолютной величине и . Таким образом, исследуемый ряд сходится.