Общие сведения. В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой

В предыдущих разделах рассматривалось совместное изменение двух переменных, одна из которых зависела от другой. В науке нередки случаи, когда для определения значения некоторой величины необходимо установить значения, совместно принимаемые несколькими независимыми переменными.

Так, например, объём

кругового цилиндра есть функция от радиуса

его основания и от высоты

; зависимость между этими переменными выражается формулой

, которая даёт возможность определить значение объёма

, зная значения двух переменных

Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке: температуры, плотности, напряжений и т. д. Все эти величины можно рассматривать как функции координат

точки, то есть как функции от трёх независимых переменных.

Функции, зависящие от двух и более переменных, называют функциями нескольких переменных.

Наиболее часто приходится иметь дело с функцией от двух переменных. Рассмотрим на плоскости Oxy некоторое множество точек с координатами

иобозначим его через D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину называют функцией независимых переменных и на множестве D, если каждой паре этого множества по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение величины .

Множество D называют областью определения функции . Переменные и по отношению к функции называют ее аргументами. Функции нескольких переменных могут быть заданы в явном и неявном виде. Функциональная зависимость между и , обозначается различными способами: , , и т.д.

Если пара взята из области , то называют частным значением функции , которое она принимает, когда .

Пример. Найти область определения функции . Найти частное значение функции в точке .

РЕШЕНИЕ

Квадратный корень определён в случае, если подкоренное выражение является неотрицательным. Поэтому функция определена при тех действительных значениях переменных и , для которых одновременно выполняются следующие условия: и . Геометрическое изображение решения системы неравенств (область определения функции) представлено на рис. 1.

Частное значение функции в точке равно .

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x, у) плоскости.

Подобно тому, как функция геометрически изображается графиком, можно геометрически задать функцию , ставя в соответствие каждой точке аппликату . Мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трехмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство называют уравнением поверхности.

Пример. Пусть задана функция . Ее область определения найдем из неравенства , т.е. . Это круг с центром в начале координат и радиусом r (рис. 2). Графиком функции являетсяверхняя половина сферы (разрешив уравнение сферы относительно z, получим две однозначные функции : и ).

Рассмотрим функцию и точку . Полным приращением функции в точке называют разность .

Если изменение функции происходит при изменении только одного из аргументов, например х, при фиксированном значении другого аргумента - у, то функция получит приращение

которое называют частным приращением функции по х.

Также задается частное приращение по переменной : .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцию называют непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям и соответствует бесконечно малое приращение , т.е.

, где .

Обозначим через , а через . Тогда из того, что и следует, что и . И условие непрерывности функции можно записать в виде:

или .

Это равенство означает, что функция непрерывна в точке , если предел функции равен значению функции в предельной точке.

© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.