Математические модели на макроуровне

Большинство технических подсистем характеризуется фазовыми переменными. Фазовые переменные образуют вектор неизвестных в математических моделяхтехнической системы. Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой. Ниже приводятся в качестве примера электрическая и механическая подсистемы.

Электрическая подсистема

Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.

1. Уравнение сопротивления (закон Ома) I = U/R, где R - электрическое сопротивление.

2. Уравнение емкости I = C(dU/dt), где С - электрическая емкость.

3. Уравнение индуктивности U = L(dI/dt), где L - электрическая индуктивность.

Механическая поступательная система

Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:

1. Уравнение вязкого трения F = V/R_M, где R_M = 1/k - аналог электрического сопротивления; к — коэффициент вязкого трения.

2. Уравнение массы (уравнение второго закона Ньютона) F = mа = С_м (dV/dt), где а = dV/dt - ускорение; С_м = m - аналог электрической емкости (масса элемента).

3. Уравнение пружины F = kх, где х - перемещение; k - жесткость пружины.

Продифференцируем обе части уравнения по времени: dF/dt = kV, или V = L_M(dF/dt), где L_M = 1/k - аналог электрической индуктивности.

Аналогичное компонентное уравнение можно получить из закона Гука для элемента, у которого учитывается сжимаемость, т.е. , где Р - напряжение в элементе; Е - модуль Юнга; l - длина элемента; Δ l - изменение длины элемента. Умножив обе части этого уравнения на площадь S поперечного сечения элемента и продифференцировав по времени, получим , или V=L_M=(dF/dt); L_M = 1/(ES).

Механическая вращательная подсистема

Фазовые переменные этой подсистемы - моменты сил М и угловые скорости - соответственно, аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов.

1. Уравнение вязкого трения вращения , где R_вр – 1/k - аналог электрического сопротивления; k - коэффициент трения вращения.

2. Основное уравнение динамики вращательного движения , где J - аналог электрической емкости (момент инерции элемента).

3. Уравнение кручения бруса с круглым поперечным сечением , где М - крутящий момент; G - модуль сдвига; J_p-полярный момент инерции сечения; - относительный угол закручивания.

Рассмотрим брус конечной длины, тогда , где - угол закручивания; l - длина бруса. Продифференцируем обе части уравнения по времени, т. е. , или если учесть, что и L_вр = l/(GJ_p), то , где L_вр - аналог электрической индуктивности (вращательная гибкость).

Аналогичное компонентное уравнение можно получить для спиральной пружины, , где с - жесткость пружины. Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим .