Экспоненциальное распределение

Как было отмечено в подразд. 3.1 экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы d = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра l = const. Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

. (3.5)

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

. (3.6)

Заменив в выражении (3.5) величину l величиной 1/Т₁, получим . (3.7)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т₁ (или постоянную интенсивность отказов l), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

Отметим, что вероятность безотказной работы на интервале, превышающем среднее время Т₁, при экспоненциальном распределении будет менее 0, 368:

Р(Т₁) =e^-1 = 0, 368 (рис. 3.2).

Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т₁, то есть интервал времени на котором допустимо пользование экспоненциальной моделью, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели. Это легко обосновать, воспользовавшись дисперсией времени безотказной работы. Как известно [4, 13], если для случайной величины t задана плотность вероятности f(t) и определено среднее значение (математическое ожидание) Т₁, то дисперсия времени безотказной работы находится по выражению:

(3.8)

и для экспоненциального распределения соответственно равна:

. (3.9)

После некоторых преобразований получим:

. (3.10)

Таким образом, наиболее вероятные значения наработки, группирующиеся в окрестности Т₁, лежат в диапазоне , то есть в диапазоне от t = 0 до t = 2Т₁. Как видим, объект может отработать и малый отрезок времени и время t = 2Т₁, сохранив λ = const. Но вероятность безотказной работы на интервале 2Т₁ крайне низка:

.

Важно отметить, что если объект отработал предположим, время t без отказа, сохранив l = соnst, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким, как в момент первого включения l = соnst.

Таким образом, отключение работоспособного объекта в конце интервала t и новое его включение на такой же интервал множество раз приведет к пилообразной кривой (см. рис. 3.3).

Другие распределения не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: поскольку за все время t устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону. Конечно, никакой парадоксальности этот вывод не содержит, так как предположение об экспоненциальном распределении интервала безотказной работы означает, что устройство не стареет. С другой стороны, очевидно, что чем больше время, на которое включается устройство, тем больше всевозможных случайных причин, которые могут вызвать отказ устройства. Это весьма важно для эксплуатации устройств, когда приходится выбирать интервалы, через которые следует производить профилактические работы с тем, чтобы сохранить высокую надежность работы устройства. Этот вопрос подробно рассматривается в работе [1].

Модель экспоненциального распределения часто используется для априорного анализа, так как позволяет не очень сложными расчетами получить простые соотношения для различных вариантов создаваемой системы. На стадии апостериорного анализа (опытных данных) должна проводиться проверка соответствия экспоненциальной модели результатам испытаний. В частности, если при обработке результатов испытаний окажется, что , то это является доказательством экспоненциальности анализируемой зависимости.

На практике часто бывает, что l¹ const, однако, и в этом случае его можно применять для ограниченных отрезков времени. Это допущение оправдывается тем, что при ограниченном периоде времени переменную интенсивность отказов без большой ошибки можно заменить [12, 15] средним значением:

.