Относительно неподвижной оси

В проекции на ось предыдущее уравнение запишется:

а так как , то , если , то . Так как проекция углового ускорения на ось , то получим уравнение динамики вращательного движения относительно оси Z и сравним с уравнением динамики для поступательного движения (2-й закон Ньютона).

Поступательное движение			Вращательное движение

Соответствие очевидно:

Замечание: если вокруг оси вращается однородное симметричное тело, то , и тогда очевидно:

(Угловое ускорение совпадает по направлению с вектором момента силы).

13) Гироскопы (от греч. круг, смотрю, наблюдаю).

Гироскопом называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии.

Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка (рис. 3.11). Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называемое прецессионное движение (прецессию) – т.е. его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причём чем больше скорость вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии ().

Из уравнения моментов следует:

Приращение совпадает по направлению с моментом внешних сил, относительно точки О. Момент силы тяжести , как видно из рис. 3.11, перпендикулярен моменту импульса, т.е. , следовательно, приращение момента импульса . В результате вектор (и ось волчка) будут поворачиваться вместе с вектором вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора .

Найдём связь между , и :

или в векторном виде , сравнивая с , получаем уравнение для угловой скорости прецессии.

Из уравнения видно, что момент силы определяет угловую скорость прецессии, а не ускорение. Это означает, что мгновенное устранение момента приводит к мгновенному исчезновению и прецессии, т.е. прецессия не обладает инерцией.

14) Закон сохранения импульса. Рассмотрим произвольную систему взаимодействующих частиц. Введём понятие импульса системы как

,

где импульс i -й частицы.

Продифференцируем по времени:

.

По 2-му закону Ньютона , где сила, действующая на i -ю частицу со стороны других частиц системы (внутренние силы); сила, действующая на эту же частицу со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). Подставим в , получим

.

Сумма всех внутренних сил по 3-му закону Ньютона (силы взаимодействия между частицами системы попарно одинаковы по модулю и противоположны по направлению).

, т.е. производная импульса системы по времени равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

Система материальных точек называетсяизолированой, если отсутствуют внешние силы (либо их действие скомпенсировано).

Если , то .

Закон сохранения импульса

Импульс изолированной системы не изменяется при любых процессах, протекающих внутри системы.

Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства: параллельный перенос замкнутой системы с одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в те же условия (без изменения расположения и скоростей), в каких они находились в прежнем положении, не отразится на ходе всех последующих явлений.

Необходимо отметить, что на Земле нет идеальных изолированных систем, так как на любую пару взаимодействующих тел действуют внешние силы (например силы тяжести на пару взаимодействующих тел пушка-снаряд) и закон сохранения импульса выполняется в проекции на горизонтальную ось, так как проекция сил тяжести на эту ось равна нулю. Другой случай, когда внутренние силы много больше внешних (например при взрыве гранаты), и последними можно пренебречь.