Постановка задачи и правило принятия решения

Задача различения сигналов находит широкое распространение в дискретной радиосвязи, когда передача символа «1» связана с излучением сигнала s₁(t), а передача символа «0» связана с излучением другого сигнала s₂(t), отличающегося от s₁(t) хотя бы одним каким-нибудь своим параметром. На приемной стороне один из указанных символов присутствует вместе с шумом. Поэтому решение о том, какой из сигналов принимается, может осуществляться с ошибкой. Отсюда возникает задача оптимального, в смысле выбранного критерия, различения сигналов. Устройство, решающее задачу различения, будем называть различителем.

Математическая постановка задачи различения: пусть на входе различителя действует случайный процесс x(t), который удобно представить в виде суммы:

(9.1)

где s₁(t), s₂(t) - детерминированные, то есть полностью известные сигналы, неизвестно только, какой из этих сигналов существует на входе в течение интервала наблюдения [0, Т]; l - случайный параметр, равный 1, если действует сигнал s₁(t), равный 0, если действует сигнал s₂(t); n(t) - шум с известным распределением.

Выдвигается гипотеза Н₁, состоящая в том, что на входе действует s₁(t), и гипотеза Н₂, утверждающая, что на входе действует s₂(t). Вероятности гипотез Р(Н₁) и Р(Н₂) известны. На интервале времени [0, Т] наблюдается реализация x(t) процесса (9.1). Требуется ответить на вопрос, какому сигналу, который действует вместе с шумом, наилучшим образом соответствует наблюдаемая реализация.

Так как вероятности гипотез известны, то ответ на этот вопрос можно дать на основании критерия идеального наблюдателя, как и в задаче обнаружения. По аналогии с (7.13) можно записать следующее правило принятия решения

(9.2)

где

(9.3)

(9.4)

где P_sn1[x(t)], P_sn2[x(t)] - функционалы плотности вероятности при непрерывном наблюдении.

Для того, чтобы принять решение о наличии того или иного сигнала на входе различителя по критерию идеального наблюдателя (7.7), необходимо сформировать отношение правдоподобия (9.3) и сравнить его с порогом L₀, определяемым согласно (9.4), априорными вероятностями Р(Н₁), Р(Н₂). В ряде случаев, например при гауссовском шуме, удобнее формировать логарифм отношения правдоподобия

(9.5)

Таким образом, решение задачи различения совпадает с решением задачи обнаружения, с той только разницей, что отношение правдоподобия определяется дробью (9.3), в которой и в числителе, и в знаменателе функции правдоподобия определяются через функционалы плотностей вероятностей при условии наличия сигнала и шума, но только при условии наличия разных сигналов.