Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса называется функция частоты , являю­щаяся прямым преобразованием Фурье от корреляционной функции этого про­цесса

(3.12)

Если существует прямое (3.12) преобразование, то существует и обратное пре­образование Фурье, которое по известной определяет :

(3.13)

Формулы (3.12) и (3.13) принимают симметричный характер, если вместо круговой частоты w использовать частоту f. При этом , а . Тогда имеем:

(3.14)

(3.15)

Воспользовавшись выражением (3.15), дадим физический смысл . Положив =0, получим

(3.16)

Как известно, определяет среднюю удельную мощность флюк­туаций случайного процесса. Поэтому функция частоты , от ко­торой берется интеграл по всем частотам, в результате чего нахо­дится , характеризует среднюю мощность процесса, приходящуюся на единицу полосы частот. Размерностью является размерность квадрата процесса, поделенная на размерность частоты. Если напряжение, то размерностью является [В²/Гц]. Заметим, что размерность совпадает с размерностью энергии [В²/Гц] = [В² С]. Поэтому в литературе иногда называют энергетическим спектром.

Рассмотрим основные свойства спектральной плотности случайного процесса.

1. Спектральная плотность стационарного случайного процесса является действительной неотрицательной функцией частоты:

(3.17)

Это свойство вытекает из физического смысла , определяющей средний квадрат флюктуаций в единичной полосе частот. Для дейст­вительного процесса - средний квадрат флюктуаций есть всегда положительное число.

2.. Спектральная плотность стационарного процесса является четной функцией частоты:

(3.18)

Это свойство обусловлено тем, что преобразование Фурье от четной функции, каковой является , есть, в свою очередь, четная функция.

3. Пару преобразований Фурье, связывающую между собой спект­ральную плотность и корреляционную функцию, можно записать в виде косинус-преобразования. Используя это свойство, запишем выраже­ния (3.12), (3.13) и (3.14), (3.15) в виде:

(3.19)

(3.20)

и

(3.21)

(3.22)

Формулы (3.19), (3.20) и (3.21), (3.22) называются форму­лами Винера - Хинчина по фамилиям ученых, которые впервые их по­лучили.

4. Реальные радиотехнические устройства не различают знак частоты. Два колебания с одинаковой амплитудой и частотами, отли­чающимися только знаком, всегда воспринимаются устройством, как одно колебание с положительной частотой, но с удвоенной амплиту­дой.

Поэтому если - спектральная плотность, определенная на , а по-прежнему определена на всей оси частот от до , то имеет место формула

(3.23)

Спектральную плотность , определенную на , будем называть физическим спектром, а спектральную плотность , определенную на , - математическим спектром случайного процесса.

Формулы Винера-Хинчина для запишутся в виде:

(3.24)

(3.25)

На рис. 3.2 показана связь между и для случая низкочастотного широкополосного (рис. 3.2, а) и высокочастотных узкополосных процессов (рис. 3.2, б).

Рис. 3.2

5. Ширина оценивается эффективной шириной спектра :

(3.26)

которая определяет основание прямоугольника с высотой 1, имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой