Эргодическое свойство стационарных случайных процессов

Среди всех стационарных процессов имеется часть, которая об­ладает эргодическим свойством. Поясним это свойство. Пусть имеется одна длинная реализация x (t) случайного процесса (t). Эта реализация определена на интервале Найдем среднее значение этой реализации путем ее усреднения во времени на достаточно большом интервале:

(2.14)

где черта сверху означает усреднение по времени, среднее значение является постоянной величиной, не зависящей от t.

Аналогично можно найти среднее значение квадрата флюктуаций и среднее значение произведения флюктуаций, смещенных одна отно­сительно другой на интервал :

(2.15)

(2.16)

По своему физическому смыслу величины (2.14) - (2.16) являются числовыми характеристиками, совпадающими со средним зна­чением, дисперсией и корреляционной функцией процесса (t). Одна­ко они получены в результате усреднения во времени одной длин­ной реализации x(t) или функции от нее.

Говорят, что стационарный процесс обладает эргодическим свойством, если с вероятностью, близкой к еди­нице, числовые характеристики, полученные в результате усреднения одной длинной реализации по времени, равны этим же характеристи­кам, полученным в результате усреднения по ансамблю. При этом ус­реднением по ансамблю называют определение числовых характеристик с использованием плотности вероятности, то есть по формулам (2.11) - (2.13), так как плотность вероятности характеризует всю совокупность или ансамбль реализаций.

Таким образом, для эргодического стационарного процесса справедливы равенства:

, (2.17)

Само слово «эргодический»происходит от греческого «эргон», что означает «работа». Эргодическое свойство является удобной рабо­чей гипотезой для расчета числовых характеристик стационарного процесса, когда располагают одной длинной его реализацией. Физи­чески это обосновано тем, что одна длинная реализация может со­держать сведения обо всех реализациях этого случайного процесса.

Заметим, что стационарность процесса является необходимым, но недостаточным условием эргодичности. Это означает, что не все стационарные процессы являются эргодическими. В общем случае трудно, если только вообще возможно, дока­зать, что эргодичность - обоснованное допущение для какого-либо физического процесса, так как может наблюдаться только одна реа­лизация этого процесса. Тем не менее, обычно имеет смысл предполо­жить эргодичность процесса, если только отсутствуют веские доводы физического характера, препятствующие этому.