Методы анализа полей в конструкциях РЭС

Проектирование качественных изделий радиоэлектроники требует исследования физических процессов различной природы, протекающих в конструкциях РЭС, включая анализ электрических, магнитных, тепловых полей, а также механических полей нагрузок и деформаций.

Например, среди задач, связанных с исследованием электромагнитного поля в конструкции, можно выделить задачи анализа полей в высоковольтных конструкциях передатчиков и индикаторных устройств на электроннолучевых трубках (ЭЛТ) телевизоров и блоков питания, полей в конденсаторах или системе монтажных проводников печатных плат, образующих паразитные емкости. Задачи анализа тепловых полей в конструкциях РЭС формируются как задачи распределения температуры в толще корпуса конструкции с учетом наличия теплонагруженных элементов и температуры окружающей среды, а одной из основных проблем анализа механических полей является задача анализа механических колебаний при вибрационных нагрузках и механической прочности конструкции.

Математически задачи анализа полей в конструкциях РЭС формулируются в виде дифференциальной краевой задачи (ДКЗ) следующим образом.

Дифференциальное уравнение имеет вид

Lu = f, (4.22)

где L - дифференциальный оператор,

u = u(X, t) - функция потенциала (неизвестная функция - решение ДКЗ, характеризующая исследуемое поле: например, в случае электростатического поля это разность потенциалов, для магнитного поля - векторный потенциал, для теплового поля - температура и т.п.), f = f(X, t) - заданная функция, характеризующая воздействие внешних факторов, X - набор параметров, характеризующих размерность ДКЗ или пространственные координаты (в одномерном случае X = x (стержень), в двумерном X = (x, y) (плоская конструкция), в трехмерном - X = (x, y, z) (объемная конструкция)), X Î W (W - область определения ДКЗ, соответствующая конфигурации исследуемой конструкции), t - временной фактор, tÎ [ t_0, ¥), t₀ - время начала моделирования.

Граничные условия задают на границе конструкции или ее отдельных участках:

u|_Г =ψ, (4.23)

где Г - граница области определения ДКЗ W (Г = ¶ W), Y = Y (t) - заданная функция, характеризующая распределение поля на границе конструкции.

В начальный момент времени моделирования t₀ задаются начальные условия

u| _{t = t0} =j, (4.24)

где j = j (Х) - заданная функция, характеризующая состояние поля в начальный момент времени t = t₀.

Дифференциальная краевая задача является нестационарной (то есть учитывает изменения параметров поля во времени). В стационарном случае (u ¹ u(t)) ДКЗ имеет вид

Lu(x) = f(x),

u(x) |_Г =ψ (х) (4.25)

и не содержит начальных условий. Начальные и граничные условия ДКЗ принято называть краевыми условиями.

Математические модели полей в конструкциях РЭС в виде ДКЗ получают с помощью наиболее общих физических законов, описывающих исследуемые процессы в конструкции РЭС (например, законов сохранения энергии - уравнения Максвелла, Фурье и т.п.). Таким образом, задачи анализа полей относятся к математическим моделям микроуровня, обеспечивающим наиболее полное и точное описание реальных физических процессов в конструкциях РЭС.

Решить задачу анализа поля (2.76) значит найти функцию потенциала поля u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению и краевым условиям. Аналитическое решение данной задачи представляет собой сложную проблему, прежде всего из-за конфигурации области определения W (наличие разнообразных вырезов и отверстий ПП), а также в силу того, что граничные условия, как правило, задаются на отдельных участках границы или даже на фрагментах внутренней области конструкции (например, для расчета теплового поля такие участки соответствуют местоположению теплонагруженных элементов). В таком случае даже при простейшем дифференциальном уравнении нахождение аналитического (в виде явной функциональной зависимости) решения ДКЗ не представляется возможным. Поэтому на практике используют численные методы анализа полей в конструкциях РЭС - метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Основная идея метода конечных разностей заключается в переходе от решения дифференциальной краевой задачи (2.76) (для упрощения расчетов ограничимся рассмотрением стационарной задачи) к решению системы линейных алгебраических уравнений.

При этом решение u = u(x) находится только в отдельных точках конструкции (узлах разностной сетки), а не в любой точке x как в случае аналитического решения.

В методе конечных разностей используются приближенные формулы конечных разностей, позволяющие перейти от частных производных к их разностным аналогам (данные формулы получают на основе разложения функции u(x) решения ДКЗ в ряд Тейлора).

В одномерном случае (u = u(x)) используются следующие формулы конечных разностей.

Для производной первого порядка можно использовать одну из трех формул.

1. Формула левой производной

(4.26)

получила свое название из-за того, что использует значение функции u в точке x и в точке x-h, находящейся слева от нее.

1. Формула правой производной имеет вид

. (4.27)

1. Формула центральной производной следующая

. (4.28)

Для производной второго порядка используется единственная формула конечно-разностной аппроксимации

( 4.29)

В формулах (4.26) - (4.29) используется знак "»" - приблизительно равно, поэтому важно знать погрешность каждой такой аппроксимирующей замены. Для оценки ошибки каждой из формул (4.26) - (4.29) используем разложение функции u(x) в ряд Тейлора:

. (4.30)

Перенесем u(x) в левую часть уравнения (4.30) и разделим обе его части на h:

(4.31)

или

, (4.32)

где 0(h) - величина того же порядка, что и h, 0 (h) = const × h. Таким образом, погрешность формулы правой производной равна 0(h). Такую же погрешность имеют формулы левой и центральной производных.

Формулу конечных разностей для производной второго порядка легко получить, используя формулы первых производных

где

.

погрешность составляет 0(h²), то есть величину того же порядка, что и h².

Аналогичным образом можно получить формулы конечно-разностной аппроксимации для производных третьего, четвертого и более высоких порядков.

В двумерном случае (u = u(x, y)) формулы конечных разностей записываются следующим образом. Формулы левой производной имеют вид:

∂ u(x, y) _≈ u(x, y)- u(x-h, y) (4.33)

∂ х h

∂ u(x, y) _≈ u(x, y)- u(x, y-h) (4.34)

∂ y h

Формулы вторых производных следующие

∂ ²u(x, y) _≈ u(x+h, y)-2 u(x, y)+ u(x-h, y) (4.35)

∂ х² h²

∂ ²u(x, y) _≈ u(x, y+h)-2 u(x, y)+ u(x, y-h) (4.36)

∂ y ² h²

Рассмотрим алгоритм метода конечных разностей решения ДКЗ (4.25).

1. Исходя из требуемой точности выбираем шаг разбиения (шаг разностной сетки) h.

2. Строим в области определения W ДКЗ разностную сетку (то есть покрываем конструкцию РЭС точками - узлами прямоугольной сетки) с выбранным шагом.

3. В каждом из граничных узлов сетки записываем граничные условия задачи (4.25), и если граничные условия содержат производные, то применяем к ним формулы конечных разностей.

4. В каждом из внутренних узлов разбиения записываем дифференциальное уравнение задачи (4.25) и заменяем производные по формулам конечных разностей.

5. Полученную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой неизвестными являются значения функции u(x) в узлах сетки, решают на ЭВМ с применением методов численного решения СЛАУ (чаще всего благодаря специальному, трехдиагональному виду матрицы СЛАУ используют метод прогонки).

Рассмотрим этапы описанного алгоритма для решения одномерной задачи:

d ²u(х) ₌ х², х Î W, (4.37)

d х²

u(x) |_Г =1+х,

где W =(1, 2), Г = {x=1, x=2}.

Получим

d ²u(х) ₌ х², х Î (1, 2), (4.38)

d х²

u(1) = 2, u(2) = 3.

1. Требуемая точность решения задачи ε ≤ 0, 04. Ошибка метода определяется погрешностью формулы производной второго порядка ε = 0(h²), то есть ε » h², или h» поэтому выбираем h £ , например h = 0, 2.

2. Строим разностную сетку на отрезке [1, 2] с шагом h = 0, 2. Для нашего примера разностная сетка имеет вид w _x={x_i=1+(i-1)× 0, 2, i=1, …, 6} и приведена на рис. 4.6.

h = 0, 2

x

x ₁ = 1 x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₅ = 2

Рис. 4.6. Построение разностной сетки

3. Граничными узлами построенной сетки являются точки x₁ и x₆, запишем в них граничные условия задачи:

u(x₁) = 2,

u(x₆) = 3,

таким образом, получены два линейных уравнения в граничных узлах разностной сетки.

4. Внутренними узлами сетки являются точки x₂, x₃, x₄, x₅. В каждом из них запишем дифференциальное уравнение задачи (4.38). Получим

Применяя формулу вторых производных с шагом h = 0, 2, получим

u(х₃)-2 u(х₂)+ u(х₁)= 1, 44∙ (0, 2)²,

u(х₄)-2 u(х₃)+ u(х₂)= 1, 96∙ (0, 2)²,

u(х₅)-2 u(х₄)+ u(х₃)= 2, 56∙ (0, 2)²,

u(х₆)-2 u(х₅)+ u(х₄)=3, 24∙ (0, 2)².

Таким образом, получены еще четыре линейных уравнения во внутренних узлах разностной сетки.

5. Записывая вместе уравнения во внутренних и граничных узлах, получим систему шести уравнений относительно шести неизвестных

u(x₁) = 2,

u(х₁)-2 u(х₂)+ u(х₃) = 0, 058

u(х₂)-2 u(х₃)+ u(х₄) = 0, 078

u(х₃)-2 u(х₄)+ u(х₅) = 0, 102

u(х₄)-2 u(х₅)+ u(х₆) = 0, 129

u(x₆) = 3,

=

Как видно, в матрице системы содержится много нулевых элементов все ненулевые элементы сгруппированы вблизи главной диагонали. Данную систему можно решать любым из численных методов решения СЛАУ, но более экономичным будет применение метода прогонки, который учитывает трехдиагональный вид матрицы системы и позволяет получить решение с меньшими затратами времени и памяти ЭВМ. В результате решения данной системы будут найдены значения неизвестной функции u = u(х) в узлах сетки. Для получения более точного решения можно уменьшить шаг сетки и повторить расчет. На практике метод конечных разностей применяют для автоматизированных расчетов (в виде программы на ЭВМ).

Рассмотрим особенности применения метода в двумерном случае.

Требуется найти решение u = u(х, у) дифференциальной краевой задачи:

(4.39)

где П – прямоугольная область с границей Г, изображенная на рис. 4.7.

Рис 4.7. К Разностная сетка в двухмерном случае

Требуется найти решение с точностью Е < 0, 1.

1 Выбор величины шага сетки h производится исходя из следующих соображений. Так как дифференциальное уравнение ДКЗ содержит производные только второго, но и первого порядка, то ошибка формул конечных остей составит 0(h), поэтому выбираем h < Е, а именно: h = 0, 1.

2. Построим разностную сетку в прямоугольнике П. Чтобы построить разностную сетку для произвольного прямоугольника П = {(х, у), х Î [а, b], у Î [с, d]} необходимо рассмотреть его проекции на оси координат, и для каждого отрезка построить разностную сетку, как в одномерном случае:

Разностную сетку в прямоугольнике w_xy получают как прямое произведение множеств w_x и w_y: w_{xy =} w_xy x w_xy, то есть множество пар (x_i, y_i), где .

В нашем примере h = 0, 1, :

Все узлы разностной сетки можно разделить на два множества, внутренние и граничные.

Внутренние узлы:

Границы прямоугольника будем рассматривать как объединение четырех множеств (участков границы): .

Верхний горизонтальный участок границы, включая угловые точки, обозначим :

Нижний горизонтальный участок границы, включая угловые точки, обозначим :

Левая вертикальная часть границы без угловых точек

и правая вертикальная часть границы

1. Запишем граничные условия в граничных узлах сетки. Получим четыре группы уравнений:

2.

(31 уравнение);

(31 уравнение);

(9 уравнений);

(9 уравнений);

всего 80 уравнений в граничных узлах сетки.

Обозначим и учтем, что

Тогда граничные условия примут вид

3. В каждом из внутренних узлов сетки запишем дифференциальное уравнение задачи (2.90):

Применим формулы конечных разностей:

Обозначим: и учтем h=0, 1, а также и т.п.

и после приведения подобных получим 261 уравнение во внутренних узлах сетки:

4. Вместе с ограниченными условиями получим систему 341 линейных уравнений относительно 341 неизвестного (разностная схема ДКЗ (4.39)):

(4.40)

Каждая разностная схема характеризуется своим шаблоном, то есть изо­бражением соседних узлов сетки, входящих в разностное уравнение. Для одной и той же задачиможно получить несколько разностных схем в зависимости от
того, какие из формул конечных разностей для первой производной использовать. Шаблон разностной схемы (4.40) приведен на рис. 4.8, он соответствует применению формулы правой производной для ¶u/¶t в точке (x_i, y_i) месте с другими возможными шаблонами для задачи (4.39).

Рис. 4.8. Шаблон разностной схемы

Каждая разностная схема характеризуется своим шаблоном, то есть изображением соседних узлов сетки, входящих в разностное уравнение. Для одной и той же задачи можно несколько разностных схем в зависимости от того, какие из формул конечных разностей для первой производной использовать.

Решая систему ЛАУ на ЭВМ найдем значения решения в узлах сетки, притом решение будет найдено с требуемой точностью.

Несомненным преимуществом метода конечных разностей является гарантированная точность получаемых решений, а к недостаткам метода следует отнести невозможность получения решения в любой точке конструкции.

Метод конечных элементов, в отличие от метода конечных разностей, позволяет получить решение в аналитическом виде, но не позволяет провести количественной оценки точности полученного решения.

Основная идея метода конечных элементов заключается в разложении искомого решения ДКЗ (неизвестной функции u(x) по базисным функциям S₁(x),..., S_N(x), где N - число узлов разбиения конструкции)

(4.41)

где a _i - коэффициенты разложения, которые требуется найти.

Такое разложение можно рассматривать как аналогию разложения произвольного вектора в векторном пространстве R ³ по единичным ортам (базисным векторам), то есть так же как в векторном пространстве любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, так в функциональном пространстве любую функцию можно представить в виде (4.41).

Рассмотрим основные этапы метода конечных элементов.

1. Разбиваем конструкцию РЭС или ее отдельный участок на конечные элементы (в одномерном случае при u = u(x) конечный элемент – это отрезок, в двумерном случае u = u(x, y) - треугольник, в трехмерном - пирамида или куб).

Полученные конечные элементы объединяют в " ансамбль", то есть вводят сквозную нумерацию для вершин всех конечных элементов.

Обозначим N общее число вершин конечных элементов.

В результате получаем сеточное разбиение исследуемой области.

Некоторые виды таких разбиений приведены на рис. 4.9.

2. В каждом из узлов конечных элементов (узлов сетки) построим базисную функцию.

Базисная функция S_i(x) – это полином (обычно первой степени, то есть линейная функция), обладающая следующим свойством: базисная функция S_i(x) равна единице только в i -ом узле сетки, а в остальных узлах равна нулю (для ясности и

Рис. 4.9. Примеры видов сеточного разбиения

простоты изложения ограничимся рассмотрением одномерного случая):

^{1, х=х}_і

S_і(х)=

^{0, х≠ х}_i ^х=х_j.

Рис. 4.10. Разбиение отрезка и графики базисных функций

В качестве примера рассмотрим отрезок [0, 3], выбрав шаг сетки h = 1, тогда N = 4 (три конечных элемента, четыре вершины).

Разбиение отрезка и графики базисных функций приведены на рис. 4.10.

Из определения базисной функции с учетом того, что S_i(x) - полином первого порядка (S_i(x) = ax+b) легко найти базисные функции:

3. Требуется найти коэффициенты разложения (2.92) a ₁,..., a_N (базисные функции S₁(x),..., S_N(x) к данному моменту уже известны, в нашем примере N=4).

Для этого выпишем дифференциальное уравнение краевой задачи, умножим обе его части на произвольную функцию U(x) и проинтегрируем обе части уравнения по области определения (в одномерном случае W = [a, b])):

в в

∫ U(x)∙ Lu(х) d х = ∫ U(x) f(х) d х (4.42)

а а

Затем подставим в уравнение (4.42) вместо u(x) разложение (4.41), а в качестве U(x) выберем первую из базисных функций (U(x)=S₁(x)):

в _N в

∫ S₁(x)∙ L(Σ a _іS_і(х))dх = ∫ S₁(x)∙ f(х) d х (4.43)

а ⁱ⁼¹ а

где S_i(x), i = 1, …, N - известные линейные функции,

f(x) - заданная правая часть ДКЗ,

a _i - неизвестные коэффициенты (константы),

следовательно, под знаком интеграла стоят полиномы не выше второго порядка, вычисление интегралов в таком случае не представляет серьезной проблемы, причем в ходе вычислений учитываются граничные условия. В результате вычисления интегралов в формуле (4.43) получим первое линейное уравнение относительно неизвестных коэффициентов a ₁, a₂,..., a _N.

Чтобы получить второе уравнение, в (4.42) подставим U = S₂(x) и проведем интегрирование, и т.д.

Для получения последнего уравнения в (4.43) подставляем U= S_N(x). Таким образом, получена система из N линейных уравнений относительно N неизвестных (коэффициентов a ₁, a ₂,..., a _N). Решив полученную систему на ЭВМ и подставив найденные значения a _i, i =1, …, N в формулу (4.41) получим искомое решение u(x) ДКЗ (4.25).

В нашем примере необходимо найти коэффициенты a ₁, a ₂, a ₃, a ₄ разложения

u(x) = a _1× S₁(x) + a _2× S₂(x) + a _3× S₃(x) + a ₄ × S₄(x) (4.44)

решения следующей полевой задачи.

Провести анализ теплового поля в одномерном стержне длины l =3; к левому концу стержня подводится тепловой поток интенсивности q, а правый конец стержня теплоизолирован (коэффициент теплопроводности стержня m_x):

(4.45)

Для данной задачи разбиение отрезка [0, 3] с шагом h =1 и базисные функции S₁(x), S₂(x), S₃(x), S₄(x) приведены в пункте 2 данного алгоритма. Подставим выражения, полученные для базисных функций, в формулу (4.44):

a _1× (-x+1) + a _2× x + a _3× 0 + a ₄ 0, хÎ [0, 1]

u(x) = a _1× 0 + a _2× (-x+2) + a _3× (x-1) + a ₄ 0, хÎ [1, 2]

a _1× 0 + a _2× 0 + a ₃(-x+3) + a ₄ (x-3), хÎ [2, 3].

Умножая обе части дифференциального уравнения ДКЗ (4.45) последовательно на каждую из базисных функций S₁(x), _× S₂(x), _× S₃(x), S₄(x), интегрируя их по области определения (хÎ [0, 3]) получим четыре интегро-дифференциальных уравнения. Вычислив интегралы с применением формулы интегрирования по частям, получим систему уравнений для нахождения коэффициентов a ₁, a₂, a₃, a₄:

a ₁ - a ₂ = q/m _x,

a ₁ – 2 a ₂ + a ₃ =0, (4.46)

a ₂– 2 a ₃ + a ₄ =0,

a ₃ - a _4: =0.

Полученную систему линейных алгебраических уравнений решают на ЭВМ, так как на практике целесообразно для достижения хорошей точности решения выбирать возможно меньший шаг разбиения h, и получаемые в методе конечных элементов системы имеют большую размерность.