Свойства и классификация математических моделей

Связь между различными параметрами ОП задается с помощью математических моделей (ММ). Математическая модель – это совокупность математических объектов (чисел, символов, формул и т.п.), описывающих структуры и функционирование ОП.

Структура ОП – это описание того, из каких элементов состоит ОП и как эти элементы связаны друг с другом. Структурные модели РЭС и ТП задаются обычно в виде графов и матриц и используются в задачах компоновки, размещения и трассировки схем РЭС. Функционирование ОП описывается параметрической ММ, задающей зависимость выходных характеристик от внутренних параметров с учетом входных воздействия и внешних факторов в виде зависимости

Y=F(X, Z, W), (4.1)

где Y, X, Z, W – векторы параметров ОП, F – заданная функция или алгоритм.

На каждом этапе проектирования используются свои ММ. Но все ММ должны обладать свойствами точности, адекватности, экономичности, универсальности.

Точность ММ означает степень соответствия модели объекту проектирования (ОП), то есть | у_физ. - у_расч. | £ ε, где ε - точность ММ, у_{ф из.} - реальное значение параметра, у_{р асч.} - значение параметра у, полученное в результате расчета по ММ.

Модель, описывающая ОП с заданной точностью, называется адекватной.

Экономичная модель характеризуется минимальными затратами времени и памяти ЭВМ на расчет по данной модели.

Универсальная ММ пригодна не только для исследования одного конкретного ОП, а для целого класса РЭС или ТП.

Рассмотрим принципы классификации математических моделей.

Полная ММ описывает все возможные физические процессы, происходящие в ОП. Полная ММ очень сложная, многоуровневая. На практике используют только те уравнения, которые описывают исследуемые свойства РЭС или ТП: например, только электрические, механические или тепловые процессы в РЭС. Конечно, это упрощенные модели. Их называют макромоделями.

Структурные ММ характеризуют, из каких элементов строится ОП, при этом РЭС или ТП описывается в виде графов и матриц.

Функциональные ММ описывают физические процессы, происходящие в ОП.

Детерминированные ММ, в отличие от вероятностных ММ, не учитывают случайных факторов функционирования ОП.

Непрерывные ММ рассматривают поведение ОП в любой момент времени и при всех возможных значениях параметров ОП в пределах допустимых интервалов.

Дискретные ММ изучают поведение ОП только в определенные моменты времени и при определенных наборах значений параметров ОП.

На ранних стадиях проектирования (блоки высшего уровня) ОП рассматривают в целом как очень сложную систему. При этом невозможно исследовать подробно физические процессы, происходящие в РЭС или ТП. Модели, которые используют в таких случаях, называют моделями мегауровня. Обычно это структурные модели - системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ), то есть самые простые расчетные формулы, по сравнению с другими это наименее точные ММ.

На средних уровнях проектирования рассматриваются отдельные блоки ОП. ММ этих уровней называют моделями макроуровня: это обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ), где независимой переменной является только время t (более точные модели по сравнению с моделями мегауровня).

На заключительной стадии проектирования (при проектировании блоков низшего уровня) появляется возможность самого подробного рассмотрения физических процессов. Здесь используют ММ в виде дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), где независимыми переменными являются и время t, и пространственные координаты l₁, l₂, l₃. Такие модели называют моделями микроуровня.

Аналитические ММ задают зависимости между параметрами ОП в виде функций типа

Y = F(X), (4.2)

в отличие от алгоритмических ММ, где такая зависимость определяется не формулой, а последовательностью правил (алгоритмов), выполнение которых позволяет получить значения выходных характеристик по заданным значениям внутренних параметров.

Принято также проводить классификацию ММ по способу их получения.

Аналитические ММ могут быть получены на основе записи на языке математики основных физических законов (сохранения энергии) – это теоретические ММ.

Если нельзя получить теоретическую ММ, то ММ ОП получают на основе анализа экспериментальных данных - экспериментальные модели (экспериментально-статистические).

Алгоритмические ММ получают:

1) если аналитическая ММ настолько сложна, то используется численный метод расчета по ММ, который реализуется в виде программы для ЭВМ;

2) если не ясен или слишком сложен принцип функционирования ОП, то используется специальный подход к ММ - имитационное моделирование

Во многих случаях аналитически получить математическиемодели не всегда представляется возможным. Поэтому большую роль играют экспериментальные методы исследования, основанные на математической статистике, которая применима для анализа эксперимента в тех случаях, когда его результаты рассматриваются как случайные величины или процессы.

В зависимости от условий проведения исследований эксперимент бывает активный и пассивный. Активный применяется для построения математических моделей конструкций и технологическихпроцессов производства РЭА, а также для поиска оптимальных условий их функционирования. Пассивный используется в том случае, когда регистрация технологических величин или параметров в конструкций РЭА производится при их нормальном функционировании.