Условия монотонности функции. Экстремумы функции

Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей)на отрезке [ a; b ], если для любых и на этом отрезке верно неравенство f (x ₁) < f (x ₂) (f (x ₁) > f (x ₂)), когда х ₁ < х ₂.

Теорема 1. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема во всех точках интервала (a; b). Если при этом
f ¢ (x)> 0, то функция возрастает на отрезке [ a; b ]; если f ¢ (x)< 0, то функция убывает на отрезке [ a; b ].

Функция возрастающая или убывающая называется монотонной.

Точка x = x ₀ называется точкой максимума (минимума)функции f (x), если существует двусторонняя окрестность этой точки, в которой функция определена и при этом для всех х из этой окрестности
f (x) < f (x ₀) (f (x) > f (x ₀)), х ¹ х ₀.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Если x ₀ – точка экстремума функции, то либо производная в этой точке не суще-
ствует, либо f ¢ (x ₀) = 0.

Обратное утверждение неверно.

Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными. Точки, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Пусть функция
y = f (x) непрерывна в точке x ₀ и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки x ₀). Если при переходе через точку x ₀ производная f ¢ (x) меняет знак с плюса на минус, то x ₀ – точка максимума. Если же производная f ¢ (x) меняет знак с минуса на плюс, то – точка минимума.

Если x ₁, x ₂, …, x_n – критические точки непрерывной на отрезке
[ a; b ] функции f (x), то наибольшее и наименьшее значения этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел f (a), f (x ₁), f (x ₂), …, f (x_n), f (b).

Пример 3. Найти экстремумы функции f (x) = x ³ – 9 x ² + 15 x.

Решение

Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем

Находим критические точки:

1)

2) – не существует; таких точек нет.

Следовательно, получаем картину знаков производной, представленную на рисунке 32.

Рисунок 32

Итак, функция f (x) убывает на промежутке [1; 5] и возрастает на промежутках (–¥; 1) и (5; +¥).

Точка х = 1 является точкой максимума, х = 5 – точкой минимума.

Тест 3. Функция f (x) убывает на интервале:

1) (–¥; –2) È (2; +¥);

2) (3; 6);

3) (0; 2);

4) (–¥; 2);

5) (–2; +¥).

Тест 4. Если в некотором промежутке производная данной функции y = f (x) положительна, т. е. то функция в этом промежутке:

1) постоянна;

2) имеет минимум;

3) возрастает;

4) убывает;

5) имеет максимум.

Тест 5. Точкой экстремума функции y = 4 x ² + 5 является точка:

1) 5;

2) 0;

3) –4;

4) 10;

5) 8.