Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [ a; b ];

2) дифференцируема на интервале (a; b);

3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f (a) = f (b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c Î (а; b), в которой производная равна нулю:

Геометрический смысл теоремы: у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (рисунок 30).

Рисунок 30

Пример 3. Проверить, удовлетворяет ли функция y = x – x ³ условиям теоремы Ролля на отрезке [0; 1].

Решение

Функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [0; 1];

2) дифференцируема на интервале (0; 1):

3) на концах отрезка принимает равные значения: f (0) = f (1) = 0.

Тогда внутри отрезка [0; 1] должна существовать по крайней мере одна точка c Î (0; 1), в которой производная равна нулю:

Действительно, такая точка существует: при Таким образом, внутри отрезка [0; 1] существует точка где производная равна нулю:

Следовательно, функция y = x – x ³ на отрезке [0; 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Тест 4. Теорема Ролля применима, если функция y = f (x):

1) непрерывна на отрезке [ a; b ];

2) дифференцируема на интервале (a; b);

3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f (a) = f (b);

4) непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема на интервале (a; b);

5) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема на интервале
(a; b) и на концах интервала принимает равные значения: f (a) = f (b).

Тест 5. У графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции:

1) параллельна оси Ox;

2) параллельна оси Oу;

3) образует с осью Ox угол a, тангенс которого:

4) образует с осью Oу угол a, тангенс которого:

5) не существует.

Тест 6. Условиям теоремы Ролля на отрезке [0; 1] удовлетворяет функция:

1) y = x;

2) y = x ²;

3)

4) y = ln x;

5) y = x – x ³.