Определение значения функции напряжений в контурных и законтурных точках

φ ₁=0; φ ₂=1, 496; φ ₃=1, 496; φ ₄=0; φ ₅=0; φ ₈=0; φ ₁₄=-1, 092; φ ₁₅=-1, 092; φ ₉= φ ₁₂= φ ₁₃= φ ₁₆= 0

φ ₁₉= φ ₆ + 2λ ∙ N₂= φ ₆; φ ₃₅= φ ₆ + 2λ ∙ N₅= φ ₆ + 2∙ 0, 967∙ (-1, 986)= φ ₆ -3, 841;

φ ₂₀= φ ₇ + 2λ ∙ N₃= φ ₇; φ ₂₄= φ ₇ + 2λ ∙ N₈= φ ₇ + 2∙ 0, 967∙ (-1, 986)= φ ₇ -3, 841;

φ ₃₀= φ ₁₀ + 2λ ∙ N₁₄= φ ₁₀; φ ₃₄= φ ₁₀ + 2λ ∙ N₉= φ ₁₀ + 2∙ 0, 967∙ (-1, 653)= φ ₁₀ -3, 197;

φ ₂₉= φ ₁₁ + 2λ ∙ N₁₅= φ ₁₁; φ ₂₅ =φ ₁₁ + 2λ ∙ N₉= φ ₁₁ + 2∙ 0, 967∙ (-1, 653)= φ ₁₁ -3, 197;

Составление системы уравнений для нахождения значений функции напряжений во внутриконтурных точках

Предварительно запишем уравнения для каждой точки:

Точка6

20φ ₆-8(φ ₂ + φ ₇+ φ ₁₀+ φ ₅)+2(φ ₃+ φ ₁₁ + φ ₉+ φ ₁)+(φ ₁₉+ φ ₈+ φ ₁₄+ φ ₃₅)=0

20φ ₆-8(1.495 + φ ₇+ φ ₁₀+ 0)+2(1.495+ φ ₁₁ +0+0)+(φ ₆+0-1.092+ φ ₆-3, 841)=0

22 φ ₆-8φ ₇-8φ ₁₀+2φ ₁₁-13, 903=0

Точка7

20φ ₇-8(φ ₃ + φ ₈+ φ ₁₁+ φ ₆)+2(φ ₄+ φ ₁₂ + φ ₁₀+ φ ₂)+(φ ₂₀+ φ ₂₄+ φ ₁₅+ φ ₅)=0

20φ ₇-8(1, 495+0+ φ ₁₁+ φ ₆)+2(0+0 + φ ₁₀+1, 495)+(φ ₇+φ ₇-3, 841-1, 092+0)=0

22φ ₇-8 φ ₁₁-8 φ ₆+2 φ ₁₀-13, 903=0

Точка10

20φ ₁₀-8(φ ₆ + φ ₁₁+ φ ₁₄+ φ ₉)+2(φ ₇+ φ ₁₅ + φ ₁₃+ φ ₅)+(φ ₂+ φ ₁₂+ φ ₃₀+ φ ₃₄)=0

20φ ₁₀-8(φ ₆ + φ ₁₁ -1, 092+0)+2(φ ₇-1, 092 +0+0)+(1, 495+ 0+ φ ₁₀+ φ ₁₀-3, 197)=0

22φ ₁₀-8φ ₆ -8φ ₁₁+2 φ ₇+4, 85=0

Точка11

20φ ₁₁-8(φ ₇ + φ ₁₀+ φ ₁₅+ φ ₁₂)+2(φ ₆+ φ ₈ + φ ₁₆+ φ ₁₄)+(φ ₃+ φ ₂₅+ φ ₂₉+ φ ₉)=0

20φ ₁₁-8(φ ₇ + φ ₁₀-1, 092+0)+2(φ ₆+0+0-1, 092)+(1, 495+ φ ₁₁-3, 197+ φ ₁₁+ 0)=0

22φ ₁₁-8φ ₇-8φ ₁₀+2 φ ₆+4, 85=0

Система уравнений примет следующий вид:

22 φ ₆-8φ ₇-8φ ₁₀+2φ ₁₁-13, 903=0

22φ ₇-8 φ ₁₁-8 φ ₆+2 φ ₁₀-13, 903=0

22φ ₁₁-8φ ₇-8φ ₁₀+2 φ ₆+4, 85=0

22φ ₁₀-8φ ₆ -8φ ₁₁+2 φ ₇+4, 85=0

φ ₆=φ ₇=1, 035 Т∙ м

φ ₁₀=φ ₁₁= 0, 097 Т∙ м

Тогда значения функции напряжений во внутриконтурных, контурных и законтурных точках будут следующими

φ ₆=1, 035; φ ₇=1, 035; φ ₁₀=0, 097; φ ₁₁=0, 097; φ ₁=0; φ ₂=1, 495; φ ₃=1, 495; φ ₄=0; φ ₅=0; φ ₈=0; φ ₉=0; φ ₁₂=0; φ ₁₃=0; φ ₁₄=-1, 092; φ ₁₅=-1, 092; φ ₁₆=0; φ ₁₈=0;

φ ₁₉= φ ₆ + 2λ ∙ N₂= φ ₆=1, 035;

φ ₂₀= φ ₇ + 2λ ∙ N₃= φ ₇=1, 035;

φ ₂₁=0;

φ ₂₃= φ ₃ + 2λ ∙ N₄= 1, 495 + 2∙ 0, 967∙ (-2, 32)= -2, 992

φ ₂₄= φ ₇ + 2λ ∙ N₈= 1, 035+ 2∙ 0, 967∙ (-1, 986)= -2, 806;

φ ₂₅= φ ₁₁ + 2λ ∙ N₁₂= 0, 097 + 2∙ 0, 967∙ (-1, 653)= -3, 1;

φ ₂₆= φ ₁₅ + 2λ ∙ N₁₆= -1, 092 +2∙ 0, 967∙ (-1, 32)= -3, 645;

φ ₂₈=0;

φ ₂₉= φ ₁₁ + 2λ ∙ N₁₅= φ ₁₁=0, 097;

φ ₃₀= φ ₁₀ + 2λ ∙ N₁₄= φ ₁₀=0, 097;

φ ₃₁=0;

φ ₃₃= φ ₁₄ + 2λ ∙ N₁₃= -1, 092+2∙ 0, 967∙ (-1, 32)= -3, 645;

φ ₃₄= φ ₁₀ + 2λ ∙ N₉=0, 097+ 2∙ 0, 967∙ (-1, 653)= -3, 1;

φ ₃₅= φ ₆ + 2λ ∙ N₅= 1, 035+ 2∙ 0.967∙ (-1, 986)= -2, 806;

φ ₃₆= φ ₂ + 2λ ∙ N₁= 1, 495 + 2∙ 0, 967∙ (-2, 32)= -2, 992

Определение нормальных и касательных напряжений

Определение σ _X

σ _Х¹= σ _Х ⁴= (φ ₁₈–2· φ ₁+ φ ₅)/λ ²=0

σ _Х ²= σ _Х ³= (φ ₁₉–2· φ ₂+ φ ₆)/λ ²=(1, 035-2·1, 495+1, 035)/0, 967²=-0, 984т/м

σ _Х ⁵= σ _Х ⁸= (φ ₁–2· φ ₅+ φ ₉)/λ ²=0

σ _Х ⁶= σ _Х⁷= (φ ₂–2· φ ₆+ φ ₁₀)/λ ²=(1, 495-2·1, 035+0, 097)/ 0, 967²=-0, 511т/м

σ _Х ⁹= σ _Х ¹²= (φ ₅–2· φ ₉+ φ ₁₃)/λ ²=0

σ _Х ¹⁰= σ _Х ¹¹= (φ ₆–2· φ ₁₀+ φ ₁₄)/λ ²=(1, 035 -2·0, 097-1, 092)/ 0, 967²=-0, 268т/м

σ _Х ¹³= σ _Х ¹⁶= (φ ₉–2· φ ₁₃+ φ ₃₁)/λ ²=0

σ _Х¹⁴= σ _Х¹⁵= (φ ₁₀–2· φ ₁₄+ φ ₃₀)/λ ²=(0, 097-2·(-1, 092)+0.097)/ 0, 967²=2, 543т/м

Определение σ _Y

σ _Y ¹= σ _Y ⁴= (φ ₂–2· φ ₁+ φ ₃₆)/λ ²=(1, 495-2·0-2, 992)/ 0, 967²=-1, 601

σ _Y ²= σ _Y ³= (φ ₃–2· φ ₂+ φ ₁)/λ ²=(1, 495-2·1, 495+0)/ 0, 967²=-1, 599 т/м

σ _Y ⁵= σ _Y ⁸= (φ ₆–2· φ ₅+ φ ₃₅)/λ ²=(1, 035-2·0-2, 806)/ 0, 967²=-1, 894т/м

σ _Y ⁶= σ _Y ⁷= (φ ₇–2· φ ₆+ φ ₅)/λ ²=(1, 035-2·1, 035+0)/ 0, 967²=-1, 107т/м

σ _Y ⁹= σ _Y ¹²= (φ ₁₀–2· φ ₉+ φ ₃₄)/λ ²=(0, 097-2·0-3, 1)/ 0, 967²=-3, 003т/м

σ _Y ¹⁰= σ _Y ¹¹= (φ ₁₁–2· φ ₁₀+ φ ₉)/λ ²=(0, 097-2·0, 097+0)/ 0, 967²=-0, 104т/м

σ _Y ¹³= σ _Y ¹⁶= (φ ₁₄–2· φ ₁₃+ φ ₃₃)/λ ²=(-1, 092-2·0-3, 645)/ 0, 967²=-4, 737т/м

σ _Y ¹⁴= σ _Y ¹⁵= (φ ₁₅–2· φ ₁₄+ φ ₁₃)/λ ²=(-1, 092+2·1, 092+0)/ 0, 967²=1, 168т/м

Определение τ _XY

τ _ХY ⁵=- τ _ХY⁸ = (φ ₃₆– φ ₂+ φ ₁₀– φ ₃₄)/4λ ²=(-2, 992-1, 495+0.097+3, 1)/4·0.967²=

=-0, 302т/м

τ _ХY ⁶=- τ _ХY ⁷ = (φ ₁– φ ₃+ φ ₁₁– φ ₉)/4λ ²=(0-1, 495+0, 097-0)/ 4·0, 967²=-0, 328т/м

τ _ХY ⁹=- τ _ХY ¹²= (φ ₃₅– φ ₆+ φ ₁₄– φ ₃₃)/4λ ²=(-2, 806-1, 035-1, 092+3, 645)/ 4·0, 967²=

=-0, 302т/м

τ _ХY ¹⁰=- τ _ХY ¹¹= (φ ₅– φ ₇+ φ ₁₅– φ ₁₃)/4λ ²=(0-1, 035-1, 092-0)/ 4·0, 967²=-0.497т/м

Строим эпюры:

Проверка равновесия элементов балки-стенки:

Составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:

Отсечённая часть находится в равновесии.