Временные сети Петри

Класс временных сетей формально определяется набором из пяти элементов

TC = (P, T, E, M₀, Z), где:

P, T, E, M₀ - имеют обычный для сетей Петри смысл;

Z: P ® R ⁺ - функция времени задержки меток в позициях сети.

Работа временных сетей подчиняется следующим правилам:

· метки в позициях ТС могут быть доступными. или же недоступными;

· переходы сети считаются возбужденными, если все их входные позиции имеют метки, и эти метки - доступные;

· переходы сети срабатывают мгновенно в тот самый момент, как только будут выполнены условия их возбуждения. Правила перехода меток в ТС совпадают с аналогичными правилами для сетей Петри;

· каждая метка, совершившая переход из p_i Î P в p_k Î P, будет недоступной в p_k в течении времени z(p_k), начиная с момента ее появления в p_k. По истечении этого времени метка снова становится доступной.

Временные сети относятся к классу сетей синхронного действия. Их состояния являются функциями времени. M_1, M₂,..., M_s - последовательность маркировок временной сети, возникающая при поочередном срабатывании переходов t_j0 в момент t₀, t_j1 в момент t₁,..., t_{j, s-1} в момент t_s-1.

M₀(t₀) M₁(t₁) M_s(t_s) (Здесь t₀, t₁,..., t_s-1 Î Q).

Текущая маркировка ТС записывается в виде:

M_s(t) = (M_s(p₁, t), M_s(p₂, t),..., M_s(p_{½ P½} , t)),

причем, M_s(t_s) = M₀(t₀) + X(s, t_s)´ R, где:

R - матрица сети, имеющая размерность (½ T½ ´ ½ P½);

X(s, t_s) - вектор размерности (1 ´ ½ T½), каждая компонента которого указывает число срабатываний определенного перехода при реализации “зажигающей последовательности”

s = (t_j0, t_j1,..., t_j, _s-1),

обеспечивающей достижимость M_s (t) от M₀(t₀): M₀(t₀) M_s(t).

Маркировка ТС на интервалах времени между любыми двумя следующими один за другим моментами срабатываний переходов остается неизменной.

Если ввести обозначения:

Dt_s = t_s - t₀; DM_s(t_s) = M_s(t_s) - M₀(t₀);

I(t_s) = X(s_s, t)/Dt_s,

то DM_s/Dt = I(s_s, t)R, где I(s_s, t) - " вектор тока",

причем " t Î Q: I(s_s, t) = 0.

В реальных системах обычно действуют ограничения на используемые ресурсы (память, мощность, скорость обслуживания и др.). Во временных сетях таким ограничениям соответствует условие ограниченности разметки на рассматриваемых интервалах времени выполнения сети. Как раз этим условиям удовлетворяют циклические процессы.

В тех случаях, когда I(s_s, t)R = 0, временная сеть функционирует циклически. Основная особенность циклической работы ТС состоит в периодической репродукции разметок. Разметка M(t) возобновляется в ТС либо после каждого завершения строго определенной для данной сети " зажигающей последовательности s" (случай ТС детерминированного типа), либо в результате выполнения какой-то одной из возможных в этой сети " зажигающих последовательностей" (случай ТС недетерминированного поведения).

В качестве примера ТС с детерминированным поведением можно указать на маркированные графы. Другой пример - сети с конфликтами, всякий раз однозначно разрешимыми текущей маркировкой. ТС недетерминированного типа имеют конфликты. В таких сетях реализация той или иной “зажигающей последовательности“ определяется случайными продолжениями процессов.

Состояние временных сетей рассматривается как функция времени. Течение времени считается непрерывным (Z: P ® R⁺). Время выполнения в ТС любого из множества параллельно действующих процессов - кусочно-непрерывное.

a) б) в)

Сети Петри, моделирующие системы с циклическими процессами:

а) временная сеть с детерминированным поведением (маркированный граф);

б) временная сеть, текущая маркировка которой исключает возможность возникновения конфликтов;

в) временная сеть с недетерминированным поведением и конфликтом в p_{1 .}

Одним из интересных применений временных сетей являются задачи анализа периодических режимов функционирования событийных систем. Формальные методы исследования таких режимов разработаны в основном для сетей детерминированного типа и лишь в некоторых частных случаях - для сетей с конфликтами.

Если ТС является сильно связным синхрографом, то в ней можно обеспечить периодический режим работы с минимальным периодом. Чтобы выйти на этот режим, надо иметь специальное расписание нескольких первых включений переходов сети. Расписание - это временная последовательность вида

Q = (t₁(j),..., t_s(j),...), где

t_s(j) - момент s-го по счету срабатывания перехода t_j Î T.

В моменты, указанные в расписании всегда выполняются условия возбуждения соответствующих переходов. Однако первые срабатывания переходов происходят не сразу в моменты их возбуждения, а с некоторой задержкой, предусмотренной расписанием. По истечении небольшого времени после начала действия расписания моменты возбуждения переходов сети и моменты срабатывания, заданные в Q, будут точно совпадать уже на всем интервале времени дальнейшего выполнения сети. Таким образом, для выведения сети на циклический режим с минимальным периодом необходимо с помощью расписания Q осуществить перераспределение взаимных временных сдвигов между отдельными процессами, установленными при начальном маркировании.

Прикладное значение такого результата можно пояснить на примере моделирования циклически работающего автоматического оборудования. Если моделировать “разгон” такой системы, следуя правилу, по которому всякая подготовленная для выполнения операция реализуется немедленно, то при некоторых начальных условиях можно не выйти на быстрые периодические режимы, даже если такие режимы в системе возможны.

Автоматический производственный комплекс циклического действия (АПКЦД)

За исключением очень немногих частных случаев анализ временных сетей недетерминированного типа формальными методами не проводится. Однако, задаваясь конкретными значениями временных задержек меток в позициях и начальной маркировкой сети, можно попытаться исследовать ее временные диаграммы имитационными методами. Основные трудности на этом пути связаны с наличием конфликтов, предотвращение которых при синхронизации процессов в ТС решается ничуть не проще, чем в традиционных сетях Петри.

Циклические последовательности состояний элементов оборудования АПКЦД и часть траектории материального потока:

Жирными точками отмечены особые состояния:

1 - ТМ разгружается в НД;

2 - накопитель склада пуст;

3 - в НД имеется деталь;

4 - РШ берет деталь из НД;

5 - РШ устанавливает заготовку в НЗ;

6 - НЗ склада пуст;

7 - в НЗ склада имеется заготовка;

8 - ТМ берет заготовку из НЗ;

9 - ТМ разгружается в накопитель заготовок РТК;

10 - НЗ пуст;

11 - в НЗ имеется заготовка;

12 - ПР РТК берет заготовку из НЗ;

13 - ПР устанавливает заготовку в зоне загрузки станка;

14 - автозагрузчик станка позиционирует деталь;

15 - автозагрузчик станка снимает деталь с рабочей позиции и устанавливает ее в выходной буферной позиции;

16 - ПР забирает деталь с выходной позиции;

17 - ПР размещает деталь в накопителе деталей РТК;

18 - накопитель деталей РТК пуст;

19 - в НД РТК имеется деталь;

20 - ТМ берет из НД РТК деталь для доставки ее в следующий РТК.

Диаграмме состояний каждого элемента АПКЦД ставится в соответствие один цикл на сети Петри. Число позиций в каждом цикле сети равно числу состояний на соответствующей циклограмме элемента. Все позиции в цикле сети разделяются переходами. Каждая позиция взвешивается временем задержки, значение которого определяется из физических условий работы моделируемого элемента (время выполнения элементом свойственной ему операции). Любые два отдельных цикла сети соединяются на переходах, относительно которых сформулированы правила синхронизации. параллельных процессов. В каждом цикле сети должно быть точно по одному маркеру. Местонахождение маркера в цикле устанавливается начальной разметкой сети.

Фрагмент временной сети Петри, отображающей часть траектории, представленной на циклограмме состояний АПКЦД.

Временная сеть может использоваться для вычисления оценок функционирования АПКЦД:

· минимальный период функционирования АПКЦД: Эта характеристика связана с типом используемого оборудования, маршрутной технологией и операционным графом изделия. Минимальное значение периода функционирования позволяет оценить длительность технологического цикла в АПКЦД;

· расписание первых включений переходов сети: При подготовке и загрузке оборудования АПКЦД возникает необходимость в синхронизации процессов. Всякий раз при введении в систему нового предмета производства требуется с минимальными потерями времени выйти на оптимальный режим;

· задержки синхронизации: Для АПКЦД в установившемся циклическом режиме можно определить место и время задержек синхронизации в цикле каждого элемента при заданной компоновке и характеристиках оборудования.

Аналитические исследования циклических режимов работы АПКЦД на сетях Петри просто реализуются для сетей с детерминированным поведением или сетей, приводимых к ним с помощью специальных несложных преобразований. В общем случае исследование периодических установившихся процессов в АПКЦД базируется на методах имитационного моделирования.

6.13. Е- сети

Подобно временным сетям событий, Е- сети относятся к классу расширений сетей Петри, ориентированных на имитацию. Формально они задаются набором из восьми элементов

Е = ((P, B, R), A, (I_A, O_A), Z, V, Q, G, M₀), где:

P = {p_i½ i=1(1)n_i} - множество позиций;

B = {b_k½ k=1(1)n_k} Î P- множество периферийных (не внутренних) позиций; они моделируют взаимосвязи системы с внешней средой;

R = {r_l½ l= 1(1)n_l} Î P - множество решающих позиций; с их помощью разрешаются конфликты на переходах и производится синхронизация событий.

Позиции Е- сети могут иметь или не иметь меток.

В Е- сетях метки не накапливаются. Число меток в каждой позиции не может быть больше единицы;

M: P ® {0, 1} - функция разметки;

M₀ = (M₀(p₁),..., M ₀(p_ni)) - начальная разметка сети;

A = {a_j½ j=1(1)n_j} - множество переходов;

I_A, O_A - два множества позиций, смежных с переходами по входу и выходу соответственно. Пары (p_i, a_j) Î I_A ´ A и пары (a_j, p_s) Î A ´ O_A отображают связи;

Z: A ® R ⁺ - время выполнения перехода (продолжительность события);

V = {v_m½ m=1(1)n_m} - множество переменных - атрибутов состояния сети;

Q = {q_l½ l=1(1)n_l} - множество решающих процедур, применяемых в Е- сети для описания функционирования r-позиций;

G = {g_j½ j=1(1)n_j} - множество процедур, описывающих срабатывание переходов.

Схемы выполнения переходов. В Е- сетях обычно применяют стандартные наборы типов переходов. Например, набор из семи типов переходов: T, I, F, X, Y, MX, MY.

Стандартный набор типов переходов

				Y(rj, p1, p2, p3)

Тип T(p₁, p₂)

Схема выполнения: (1, 0) ® (0, 1)

Комментарий: переход a - активный, если p₁ имеет метку, а p₂ - свободна. После срабатывания метка переходит в p₂.

Тип F(p₁, p₂, p₃)

Схема выполнения: (1, 0, 0) ® (0, 1, 1)

Комментарий: переход a - активный, если имеется метка в p₁, а p₂ и p₃ - свободные позиции. После срабатывания перехода появляются метки в p₂ и p₃. Метка из p₁ удаляется.

Тип I(p₁, p₂, p₃)

Cхема выполнения: (1, 1, 0) ® (0, 0, 1)

Комментарий: переход a - активный, если p₁ и p₂ имеют метку, а p₃ - свободна. После срабатывания перехода появляется метка в p₃. Метки из p₁ и p₂ удаляются.

Тип X(r_j, p₁, p₂, p₃)

Схема выполнения: (0, 1, 0, 0) ® (*, 0, 1, 0)

(1, 1, 0, 0) ® (*, 0, 0, 1)

(0, 1, 1, 0) ® (*, 0, 1, 1)

(0, 1, 0, 1) ® (*, 0, 1, 1)

(1, 1, 1, 0) ® (*, 0, 1, 1)

(1, 1, 0, 1) ® (*, 0, 1, 1)

Комментарий: Если p₂ и p₃ - свободные позиции, а в p₁ есть метка, то на переходе возникает состояние конфликта.

Конфликт исключается по значению метки решающей позиции r_j Î R: если M(r_j) = 0, то метка переходит из p₁ в p₂; если M(r_j) = 1, то метка переходит из p₁ в p₃.

Значения M(r_j) находятся в результате применения решающей процедуры q(r_j) Î Q. Ее выполнение состоит в проверке значений предикатов pr1(r_j) и pr2(r_j).

При истинности какого-то одного из них M(r_j) = 1, при истинности другого M(r_j) = 0.

Если оба предиката имеют ложные значения, то M(r_j)=" Неопределенность". В этом случае решающая позиция блокирует переход до момента результативного завершения процедуры q(r_j). Символ (*) означает, что необходимо снова определить значение M(r_j).

Если на переходе конфликта нет (какая-то из двух выходных позиций свободна) и имеется метка в p₁, то переход сработает по схеме T- перехода по единственно возможному пути, независимо от того, какой была при этом разметка решающей позиции M(r_j).

ТипY(r_j, p₁, p₂, p₃)

Схема выполнения: (0, 1, 1, 0) ® (*, 0, 1, 1)

(1, 1, 1, 0) ® (*, 1, 0, 1)

(0, 1, 0, 0) ® (*, 0, 0, 1)

(0, 0, 1, 0) ® (*, 0, 0, 1)

(1, 1, 0, 0) ® (*, 0, 0, 1)

(1, 0, 1, 0) ® (*, 0, 0, 1)

Макропереходы MX и MY определяются чуть более сложно, чем соответствующие им X- и Y- переходы. Конкретная схема перехода определяется в них в результате сравнения значений метки решающей позиции с разметкой инцидентных переходу дуг.

Каждый переход Е -сети имеет три характеристики (w, z, g), где: w - тип перехода, z Î Z - время перехода, g - процедура перехода.

Возбужденный переход выполняется в три этапа:

1. Проверяются условия активности перехода, а для X- и Y- переходов еще находятся значения M(r_j) и определяется конкретная схема выполнения.

2. Реализуется задержка выполнения перехода на время z(a_j). На этом же этапе пересчитываются значения атрибутов меток по правилам, указанным в g(a_j).

3. В точном соответствии со схемой перехода изменяется маркировка его выходных и входных позиций.

Фрагмент Е-сети для РТК в составе ГАУ

ГАУ имеет семь групп роботизированных комплексов (РТК).

В каждую группу входят 5 РТК, обслуживаемых одним трансманипулятором (ТМ).

Семь ТМ (по одному на группу РТК) связывают РТК с семисекционным автоматизированным складом (АС).

Склад оснащен роботом-штабелером (РШ), для которого доступна любая из семи секций склада.

Заготовки и тара, предназначенные для РТК i-й группы (i=1(1)7), хранятся в i-й секции АС.

В каждой секции АС имеется оборудованное место, где осуществляется контакт РШ с соответствующим ТМ.

Склад имеет зону загрузки, откуда РШ переносит тару, комплектующие, детали и сборочные единицы в любые секции склада.

На вход каждого РТК подаются заготовки в кассетах. Из кассет они выгружаются в приемные бункеры станков.

На входе РТК устанавливается палетка, в которой фиксируются обработанные детали. Кассеты с заготовками и пустые палетки поступают на РТК со склада.

Их доставляют ТМ. Кроме того, ТМ переносит пустые кассеты, кассеты с неиспользованными заготовками и палетки с готовыми деталями от РТК на АС.

Все операции по загрузке ячеек АС выполняет РШ.

Фрагмент Е-сети для одного РТК

p₁ - состояние бункера РТК перед проверкой;

p₂ - в бункере имеются заготовки;

p₃ - бункер пуст;

p₄ - ТМ загрузил в бункер первую партию заготовок;

p₅ - заготовка может быть подана на рабочую позицию РТК;

p₆ - требуется загрузить в бункер заготовки того же типа;

p₇ - требуется загрузить в бункер заготовки другого типа;

p₈ - РТК подготовлен к включению на обработку;

p₉ - число партий обработанных заготовок меньше установленного производственного задания;

p₁₀ - обработка очередной заготовки завершена;

p₁₁ - состояние РТК после завершения обработки;

p₁₂ - обработанная заготовка помещена в палетку;

p₁₃ - выпущена очередная партия изделий;

p₁₄ - выполнено производственное задание по сборке изделий заданного типа;

p₁₅ - РТК подготовлен к выполнению нового производственного задания (из бункера станка удалены неиспользованные заготовки, РТК переведен на новый технологический режим);

p₁₆ - число обработанных заготовок в палетке меньше установленного размера партии;

p₁₇ - на выходе РТК установлена пустая палетка;

p₁₈ - обработанная заготовка может быть перенесена в палетку;

p₁₉ - сгенерирована заявка 1-го типа (перенести палетку с обработанными заготовками с выхода РТК на АС, разместить ее в нужной ячейке определенной зоны хранения, доставить и установить на выходе РТК новую пустую палетку);

p₂₀ - сгенерирована заявка 2-го типа (доставить на РТК из определенной секции и ячейки АС новую партию заготовок и загрузить ее в бункер станка, пустую кассету из-под заготовок перенести на склад и разместить ее в нужной ячейке хранения);

r₁ - оценка результатов проверки заполнения бункера станка;

r₂ - оценка вариантов возможных состояний бункера станка;

r₃ - оценка вариантов состояния РТК при пустом бункере;

r₄ - оценка варианта заявки 1-го типа;

r₅ - оценка состояния РТК перед проверкой заполнения бункера;

r₆ - оценка результатов проверки готовности партии;

r₇ - оценка результатов проверки выполнения производственного задания;

Y₁ - анализ состояния бункера станка;

X₂ - проверка заполнения бункера;

Y₃ - проверка возможности подачи очередной заготовки из бункера станка на позицию обработки;

X₄ - формирование заявки 1-го типа;

Y₅ - генерация заявки 1-го типа;

I₆ - проверка готовности РТК к выполнению сборочной операции;

I₇ - технологический процесс;

F₈ - установка обработанной заготовки в палетку;

X₉ - проверка готовности партии;

X₁₀ - проверка выполнения производственной программы;

Y₁₁ - проверка состояния палетки;

T₁₂ - подготовка РТК к выполнению новой производственной программы;

T₁₃ - генерация заявки 2-го типа.

В качестве атрибутов меток данной сети используются:

v₁ - число заготовок в бункере станка;

v₂ - код изделия (условия обработки и транспортирования);

v₃ - число партий, обработанных в ходе выполнения текущего производственного задания (партия - это Н обработанных заготовок, количество гнезд в палетке должно быть не менее Н);

v₄ - число заготовок в палетке;

v₅ - тип заявки (1 или 2);

v₆ - местоположение ТМ (v₆={РТК1, РТК2,..., РТК5};

v₇ - номер РТК, пославшего заявку на обслуживание;

v₈, (v₉) - число выполненных заявок 1- го, (2 - го) типа;

v₁₀ - среднее за интервал моделирования значение времени простоя РТК из-за дефицита заготовок;

v₁₁, (v₁₂) - средняя, (максимальная) за интервал моделирования длина очереди заявок 1-го типа;

v₁₃, (v₁₄) - средняя, (максимальная) за интервал моделирования продолжительность пребывания заявок 1-го типа в очереди на обслуживание;

и др.

Множество атрибутов V = V₁ È V₂, V₁ = {v₁,..., v₇} - переменные, обеспечивающие выполнение сети, V₂ = {v₈,..., v₁₄ и др.} - оценочные переменные.

Выполнение сети регулируют решающие процедуры Q и процедуры переходов G. Множество решающих процедур рассматриваемого фрагмента сети составляют:

q(r₁): (M(p₁(1))) > 1® M(r₁): =0, иначе M(r₁): =1);

q(r₂): (M(p₄(1))) = (число заготовок, загруженных в бункер) ® M(r₂): =1), иначе M(r₂): =0);

q(r₃): (M(p₃(3)) > 0 ® M(r₃): =0, иначе M(r₃): =1);

q(r₄): (M(p₆(3)) > 0 ® M(r₄): =0, иначе M(r₄): =1);

q(r₅): ((M(p₁₅(1)))=0) Ù (M(p₁₅(3)))=0) ® (M(r₅): =1, иначе M(r₅): =0);

q(r₆): (M(p₁₂(4)) < ( размер партии ) ® M(r₆): =0, иначе M(r₆): =1);

q(r₇): (M(p₁₃(3)) < (число партий в производственном задании) ® M(r₇): = 1).

Множество процедур выполнения 13 переходов данного фрагмента cети описываются следующим образом:

Y₁: (Y₁(r₅, p₁₁, p₁₅, p₁), (0, 0), -).

Комментарий: При M(r₅)=0 переход Y₁ работает по схеме T(p₁₁, p₁), а при M(r₅)=1 - по схеме T(p₁₅, p₁). В обоих случаях z(Y₁) = 0. Атрибуты метки не изменяются (символ " -");

X₂: (X2(r₁, p₁, p₂, p₃), (0, 0), -);

Y₃: (Y₃(r₂, p₂, p₄, p₅), (0, 0), -);

X₄: (X₄(r₃, p₃, p₆, p₇), (0, 0), -);

Y₅: (Y₅(r₄, p₆, p₇, p₁₉(2, 5, 7), (0, 0), [T --> (M(p₁₉(2)): =( тип изделия ), M(p₁₉(5)): =1, M(p₁₉(7): = ( номер РТК))]).

Комментарий: p₁₉(2, 5, 7) означает, что при переходе изменяются значения 2-го, 5-го и 7-го атрибутов метки. В квадратных скобках записана процедура перехода g(Y₅). Символическая запись [T®..] означает, что переход Y₅ работает по схеме T с переносом метки в p₁₉. Временная задержка на переходе отсутствует;

I₆: (I₆(p₅, p₉, p₈), (0), [I ® (M(p₈(1)): = M(p₅(1)), M(p₈(2)): = M(p₅(2)), M(p₈(3): = M(p₉(3)))].

Комментарий: Переход выполняется по схеме I с нулевой задержкой;

I₇: (I₇(p₈, p₁₈, p₁₀), t_обр, [I ® (M(p₁₀(1)): = M(p₈(1))-1, M(p₁₀(2)): = M(p₈(2)), M(p₁₀(3)): = M(p₈(3)), M(p₁₀(4)): =M(p₁₈(4)))]).

Комментарий: Переход срабатывает по схеме I. Задержка z(I₇)= t_обр имитирует затраты времени на выполнение программы обработки заготовок типа M(p₈(2));

F₈: (F₈(p₁₀, p₁₁(4), p₁₂(4)), t_вых, [T® (M(p₁₁(4))= M(p₁₂(4)): = M(p₁₀(4))+1)]).

Комментарий: Переход срабатывает как T(p₁₀, p₁₁(4)) или, что то же самое, как T(p₁₀, p₁₂(4)). Задержка z(F₈)= t_вых имитирует затраты времени при переносе обрабатываемой заготовки в палетку;

X₉: (X₉(r₆, p₁₂, p₁₆, p₁₃(3)), (0, 0), [T ® (M(r₆)=1 ® M(p₁₃(3)): = M(p₁₂(3))+1)]);

X₁₀: (X₁₀(r₇, p₁₃, p₉, p₁₄), (0, 0), -);

Y₁₁: (Y₁₁(r₈, p₁₆, p₁₇, p₁₈), (0, 0), -);

T₁₂: (T₁₂(p₁₄, p₁₅(1, 2, 3)), t_пер, [T ® (M(p₁₅(1)): =0, M(p15(2)): = ( новый тип изделия ), M(p15(3)): =0)]).

Комментарий: Переход срабатывает с задержкой z(T₁₂)= t_пер, которая имитирует затраты времени на выполнение всех операций по подготовке РТК к работе по новой производственной программе;

T₁₃: (T₁₃(p₁₃, p₂₀(5, 7)), (0), [T ® (M(p₂₀(5)): =2, M(p₂₀(7)): = ( номер РТК))]).

Литература

1. Качанова Т.Л., Фомин Б.Ф. Методы и технологии генерации системного знания. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. – 132 с.

2. Технология системного моделирования /Под ред. С.В. Емельянова, В.В. Калашникова, М. Франка, А. Явора. – М.: Машиностроение; Берлин: Техника, 1988. – 520 с.

3. Калашников В.В., С.Т. Рачев. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. – М.: Наука, 1988. – 312 с.

4. Котов В.Е. Сети Петри. - М.: Наука, 1984. - 160 с.

5. Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем. - М.: Мир, 1984. - 264 с.

6. Фомин Б.Ф. Сети Петри и их расширения//Технология системного моделирования/Под ред. С.В.Емельянова и др. - М.: Машиностроение; Берлин: Техника, 1988. С. 79 - 124.

7. Фомин Б.Ф., Яковлев В.Б. Моделирование производственных систем. - Киев: Вища шк., 1992. - 192 с.